Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36159 / 39372
↖ ↑ ↗
← S 34.070863°
E 18.627319°		 ← 506 m → S 34.070863°
E 18.632813°		 →
↑
505.92 m
↓
↑
505.92 m
↓
S 34.075412°
E 18.627319°		 ← 505.97 m →
255 987 m²		 S 34.075412°
E 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551750183105469 y=0.600776672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551750183105469 × 216)
    floor (0.551750183105469 × 65536)
    floor (36159.5)     		tx = 36159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600776672363281 × 216)
    floor (0.600776672363281 × 65536)
    floor (39372.5)     		ty = 39372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36159 / 39372 ti = "16/36159/39372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36159/39372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36159 ÷ 216
    36159 ÷ 65536     		x = 0.551742553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39372 ÷ 216
    39372 ÷ 65536     		y = 0.60076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551742553710938 × 2 - 1) × π
    0.103485107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32510805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60076904296875 × 2 - 1) × π
    -0.2015380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.633150570181702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32510805} λ = 0.32510805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.633150570181702))-π/2
    2×atan(0.5309164736636)-π/2
    2×0.488073800133239-π/2
    0.976147600266479-1.57079632675     		φ = -0.59464873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32510805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.627319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59464873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.070863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36159 KachelY 39372 0.32510805 -0.59464873 18.627319 -34.070863
    Oben rechts KachelX + 1 36160 KachelY 39372 0.32520393 -0.59464873 18.632813 -34.070863
    Unten links KachelX 36159 KachelY + 1 39373 0.32510805 -0.59472814 18.627319 -34.075412
    Unten rechts KachelX + 1 36160 KachelY + 1 39373 0.32520393 -0.59472814 18.632813 -34.075412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59464873--0.59472814) × R
    7.9410000000002e-05 × 6371000     		dl = 505.921110000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59464873--0.59472814) × R
    7.9410000000002e-05 × 6371000     		dr = 505.921110000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32510805-0.32520393) × cos(-0.59464873) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.828345337652859 × 6371000     		do = 505.99597545631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32510805-0.32520393) × cos(-0.59472814) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.82830084814437 × 6371000     		du = 505.968798974205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59464873)-sin(-0.59472814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828345337652859-0.82830084814437)×R²
    abs(0.32520393-0.32510805)×4.44895084891206e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44895084891206e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44895084891206e-05×40589641000000     		ar = 255987.171114888m²