Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36151 / 105285
↖ ↑ ↗
← S 73.077841°
W 80.708313°		 ← 88.90 m → S 73.077841°
W 80.705566°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 73.078641°
W 80.708313°		 ← 88.90 m →
7 901 m²		 S 73.078641°
W 80.705566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275814056396484 y=0.803264617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275814056396484 × 217)
    floor (0.275814056396484 × 131072)
    floor (36151.5)     		tx = 36151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803264617919922 × 217)
    floor (0.803264617919922 × 131072)
    floor (105285.5)     		ty = 105285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36151 / 105285 ti = "17/36151/105285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36151/105285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36151 ÷ 217
    36151 ÷ 131072     		x = 0.275810241699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105285 ÷ 217
    105285 ÷ 131072     		y = 0.803260803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275810241699219 × 2 - 1) × π
    -0.448379516601562 × 3.1415926535     		Λ = -1.40862580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803260803222656 × 2 - 1) × π
    -0.606521606445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.90544382299761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40862580} λ = -1.40862580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90544382299761))-π/2
    2×atan(0.148756606366068)-π/2
    2×0.147673693464534-π/2
    0.295347386929069-1.57079632675     		φ = -1.27544894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40862580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.708313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27544894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.077841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36151 KachelY 105285 -1.40862580 -1.27544894 -80.708313 -73.077841
    Oben rechts KachelX + 1 36152 KachelY 105285 -1.40857786 -1.27544894 -80.705566 -73.077841
    Unten links KachelX 36151 KachelY + 1 105286 -1.40862580 -1.27546289 -80.708313 -73.078641
    Unten rechts KachelX + 1 36152 KachelY + 1 105286 -1.40857786 -1.27546289 -80.705566 -73.078641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27544894--1.27546289) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27544894--1.27546289) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40862580--1.40857786) × cos(-1.27544894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291072213003637 × 6371000     		do = 88.9009460500153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40862580--1.40857786) × cos(-1.27546289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291058866995175 × 6371000     		du = 88.8968698355045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27544894)-sin(-1.27546289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291072213003637-0.291058866995175)×R²
    abs(-1.40857786--1.40862580)×1.33460084627002e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33460084627002e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33460084627002e-05×40589641000000     		ar = 7900.93044797755m²