Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36149 / 105284
↖ ↑ ↗
← S 73.077042°
W 80.713806°		 ← 88.91 m → S 73.077042°
W 80.711059°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 73.077841°
W 80.713806°		 ← 88.90 m →
7 901 m²		 S 73.077841°
W 80.711059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275798797607422 y=0.803256988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275798797607422 × 217)
    floor (0.275798797607422 × 131072)
    floor (36149.5)     		tx = 36149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803256988525391 × 217)
    floor (0.803256988525391 × 131072)
    floor (105284.5)     		ty = 105284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36149 / 105284 ti = "17/36149/105284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36149/105284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36149 ÷ 217
    36149 ÷ 131072     		x = 0.275794982910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105284 ÷ 217
    105284 ÷ 131072     		y = 0.803253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275794982910156 × 2 - 1) × π
    -0.448410034179688 × 3.1415926535     		Λ = -1.40872167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.60650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90539588609799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40872167} λ = -1.40872167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90539588609799))-π/2
    2×atan(0.148763737467495)-π/2
    2×0.147680670174245-π/2
    0.29536134034849-1.57079632675     		φ = -1.27543499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40872167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.713806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27543499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.077042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36149 KachelY 105284 -1.40872167 -1.27543499 -80.713806 -73.077042
    Oben rechts KachelX + 1 36150 KachelY 105284 -1.40867373 -1.27543499 -80.711059 -73.077042
    Unten links KachelX 36149 KachelY + 1 105285 -1.40872167 -1.27544894 -80.713806 -73.077841
    Unten rechts KachelX + 1 36150 KachelY + 1 105285 -1.40867373 -1.27544894 -80.711059 -73.077841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27543499--1.27544894) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27543499--1.27544894) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40872167--1.40867373) × cos(-1.27543499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291085558955457 × 6371000     		do = 88.9050222472257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40872167--1.40867373) × cos(-1.27544894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291072213003637 × 6371000     		du = 88.9009460500153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27543499)-sin(-1.27544894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291085558955457-0.291072213003637)×R²
    abs(-1.40867373--1.40872167)×1.33459518193435e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33459518193435e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33459518193435e-05×40589641000000     		ar = 7901.29272279388m²