Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36148 / 105276
↖ ↑ ↗
← S 73.070645°
W 80.716553°		 ← 88.94 m → S 73.070645°
W 80.713806°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 73.071444°
W 80.716553°		 ← 88.93 m →
7 904 m²		 S 73.071444°
W 80.713806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275791168212891 y=0.803195953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275791168212891 × 217)
    floor (0.275791168212891 × 131072)
    floor (36148.5)     		tx = 36148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803195953369141 × 217)
    floor (0.803195953369141 × 131072)
    floor (105276.5)     		ty = 105276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36148 / 105276 ti = "17/36148/105276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36148/105276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36148 ÷ 217
    36148 ÷ 131072     		x = 0.275787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105276 ÷ 217
    105276 ÷ 131072     		y = 0.803192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.44842529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40876961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.60638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90501239090103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40876961} λ = -1.40876961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90501239090103))-π/2
    2×atan(0.148820798586929)-π/2
    2×0.147736495371854-π/2
    0.295472990743708-1.57079632675     		φ = -1.27532334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40876961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.716553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27532334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.070645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36148 KachelY 105276 -1.40876961 -1.27532334 -80.716553 -73.070645
    Oben rechts KachelX + 1 36149 KachelY 105276 -1.40872167 -1.27532334 -80.713806 -73.070645
    Unten links KachelX 36148 KachelY + 1 105277 -1.40876961 -1.27533729 -80.716553 -73.071444
    Unten rechts KachelX + 1 36149 KachelY + 1 105277 -1.40872167 -1.27533729 -80.713806 -73.071444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27532334--1.27533729) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27532334--1.27533729) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40876961--1.40872167) × cos(-1.27532334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291192372363764 × 6371000     		do = 88.9376458114999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40876961--1.40872167) × cos(-1.27533729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291179026865388 × 6371000     		du = 88.9335697527828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27532334)-sin(-1.27533729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291192372363764-0.291179026865388)×R²
    abs(-1.40872167--1.40876961)×1.3345498375672e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3345498375672e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3345498375672e-05×40589641000000     		ar = 7904.19216287582m²