Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36147 / 105274
↖ ↑ ↗
← S 73.069045°
W 80.719299°		 ← 88.93 m → S 73.069045°
W 80.716553°		 →
↑
88.94 m
↓
↑
88.94 m
↓
S 73.069845°
W 80.719299°		 ← 88.92 m →
7 909 m²		 S 73.069845°
W 80.716553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275783538818359 y=0.803180694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275783538818359 × 217)
    floor (0.275783538818359 × 131072)
    floor (36147.5)     		tx = 36147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803180694580078 × 217)
    floor (0.803180694580078 × 131072)
    floor (105274.5)     		ty = 105274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36147 / 105274 ti = "17/36147/105274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36147/105274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36147 ÷ 217
    36147 ÷ 131072     		x = 0.275779724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105274 ÷ 217
    105274 ÷ 131072     		y = 0.803176879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275779724121094 × 2 - 1) × π
    -0.448440551757812 × 3.1415926535     		Λ = -1.40881754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803176879882812 × 2 - 1) × π
    -0.606353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90491651710179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40881754} λ = -1.40881754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90491651710179))-π/2
    2×atan(0.148835067286282)-π/2
    2×0.147750454871724-π/2
    0.295500909743448-1.57079632675     		φ = -1.27529542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40881754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.719299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27529542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.069045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36147 KachelY 105274 -1.40881754 -1.27529542 -80.719299 -73.069045
    Oben rechts KachelX + 1 36148 KachelY 105274 -1.40876961 -1.27529542 -80.716553 -73.069045
    Unten links KachelX 36147 KachelY + 1 105275 -1.40881754 -1.27530938 -80.719299 -73.069845
    Unten rechts KachelX + 1 36148 KachelY + 1 105275 -1.40876961 -1.27530938 -80.716553 -73.069845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27529542--1.27530938) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dl = 88.9391599998697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27529542--1.27530938) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dr = 88.9391599998697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40881754--1.40876961) × cos(-1.27529542) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29121908232364 × 6371000     		do = 88.9272501531383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40881754--1.40876961) × cos(-1.27530938) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291205727372078 × 6371000     		du = 88.9231720580186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27529542)-sin(-1.27530938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29121908232364-0.291205727372078)×R²
    abs(-1.40876961--1.40881754)×1.33549515627385e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33549515627385e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33549515627385e-05×40589641000000     		ar = 7908.93357863903m²