Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36144 / 38660
↖ ↑ ↗
← S 30.770159°
E 18.544922°		 ← 524.81 m → S 30.770159°
E 18.550415°		 →
↑
524.78 m
↓
↑
524.78 m
↓
S 30.774879°
E 18.544922°		 ← 524.78 m →
275 400 m²		 S 30.774879°
E 18.550415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551521301269531 y=0.589912414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551521301269531 × 216)
    floor (0.551521301269531 × 65536)
    floor (36144.5)     		tx = 36144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589912414550781 × 216)
    floor (0.589912414550781 × 65536)
    floor (38660.5)     		ty = 38660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36144 / 38660 ti = "16/36144/38660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36144/38660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36144 ÷ 216
    36144 ÷ 65536     		x = 0.551513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38660 ÷ 216
    38660 ÷ 65536     		y = 0.58990478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551513671875 × 2 - 1) × π
    0.10302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32366995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58990478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1798095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.564888425122742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32366995} λ = 0.32366995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564888425122742))-π/2
    2×atan(0.568423565009029)-π/2
    2×0.516877869437894-π/2
    1.03375573887579-1.57079632675     		φ = -0.53704059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32366995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.544922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53704059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.770159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36144 KachelY 38660 0.32366995 -0.53704059 18.544922 -30.770159
    Oben rechts KachelX + 1 36145 KachelY 38660 0.32376582 -0.53704059 18.550415 -30.770159
    Unten links KachelX 36144 KachelY + 1 38661 0.32366995 -0.53712296 18.544922 -30.774879
    Unten rechts KachelX + 1 36145 KachelY + 1 38661 0.32376582 -0.53712296 18.550415 -30.774879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53704059--0.53712296) × R
    8.23699999999983e-05 × 6371000     		dl = 524.779269999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53704059--0.53712296) × R
    8.23699999999983e-05 × 6371000     		dr = 524.779269999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32366995-0.32376582) × cos(-0.53704059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859226462388219 × 6371000     		do = 524.805014887078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32366995-0.32376582) × cos(-0.53712296) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859184319357662 × 6371000     		du = 524.779274439423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53704059)-sin(-0.53712296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859226462388219-0.859184319357662)×R²
    abs(0.32376582-0.32366995)×4.21430305564963e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21430305564963e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21430305564963e-05×40589641000000     		ar = 275400.038733755m²