Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36144 / 105296
↖ ↑ ↗
← S 73.086633°
W 80.727539°		 ← 88.84 m → S 73.086633°
W 80.724793°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
S 73.087432°
W 80.727539°		 ← 88.83 m →
7 890 m²		 S 73.087432°
W 80.724793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275760650634766 y=0.803348541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275760650634766 × 217)
    floor (0.275760650634766 × 131072)
    floor (36144.5)     		tx = 36144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803348541259766 × 217)
    floor (0.803348541259766 × 131072)
    floor (105296.5)     		ty = 105296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36144 / 105296 ti = "17/36144/105296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36144/105296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36144 ÷ 217
    36144 ÷ 131072     		x = 0.2757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105296 ÷ 217
    105296 ÷ 131072     		y = 0.8033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40896135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.606689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90597112889343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40896135} λ = -1.40896135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90597112889343))-π/2
    2×atan(0.148678186807853)-π/2
    2×0.147596970771722-π/2
    0.295193941543444-1.57079632675     		φ = -1.27560239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40896135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.727539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27560239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.086633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36144 KachelY 105296 -1.40896135 -1.27560239 -80.727539 -73.086633
    Oben rechts KachelX + 1 36145 KachelY 105296 -1.40891342 -1.27560239 -80.724793 -73.086633
    Unten links KachelX 36144 KachelY + 1 105297 -1.40896135 -1.27561633 -80.727539 -73.087432
    Unten rechts KachelX + 1 36145 KachelY + 1 105297 -1.40891342 -1.27561633 -80.724793 -73.087432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27560239--1.27561633) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27560239--1.27561633) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40896135--1.40891342) × cos(-1.27560239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290925403795733 × 6371000     		do = 88.8375718816892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40896135--1.40891342) × cos(-1.27561633) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290912066731863 × 6371000     		du = 88.8334992487915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27560239)-sin(-1.27561633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290925403795733-0.290912066731863)×R²
    abs(-1.40891342--1.40896135)×1.33370638705776e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33370638705776e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33370638705776e-05×40589641000000     		ar = 7889.63848749139m²