Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36143 / 38658
↖ ↑ ↗
← S 30.760719°
E 18.539429°		 ← 524.91 m → S 30.760719°
E 18.544922°		 →
↑
524.84 m
↓
↑
524.84 m
↓
S 30.765439°
E 18.539429°		 ← 524.89 m →
275 489 m²		 S 30.765439°
E 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551506042480469 y=0.589881896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551506042480469 × 216)
    floor (0.551506042480469 × 65536)
    floor (36143.5)     		tx = 36143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589881896972656 × 216)
    floor (0.589881896972656 × 65536)
    floor (38658.5)     		ty = 38658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36143 / 38658 ti = "16/36143/38658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36143/38658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36143 ÷ 216
    36143 ÷ 65536     		x = 0.551498413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38658 ÷ 216
    38658 ÷ 65536     		y = 0.589874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551498413085938 × 2 - 1) × π
    0.102996826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32357407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589874267578125 × 2 - 1) × π
    -0.17974853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.564696677524261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32357407} λ = 0.32357407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564696677524261))-π/2
    2×atan(0.568532569312862)-π/2
    2×0.516960250783604-π/2
    1.03392050156721-1.57079632675     		φ = -0.53687583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32357407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.539429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53687583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.760719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36143 KachelY 38658 0.32357407 -0.53687583 18.539429 -30.760719
    Oben rechts KachelX + 1 36144 KachelY 38658 0.32366995 -0.53687583 18.544922 -30.760719
    Unten links KachelX 36143 KachelY + 1 38659 0.32357407 -0.53695821 18.539429 -30.765439
    Unten rechts KachelX + 1 36144 KachelY + 1 38659 0.32366995 -0.53695821 18.544922 -30.765439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53687583--0.53695821) × R
    8.23799999999375e-05 × 6371000     		dl = 524.842979999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53687583--0.53695821) × R
    8.23799999999375e-05 × 6371000     		dr = 524.842979999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32357407-0.32366995) × cos(-0.53687583) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.859310741189041 × 6371000     		do = 524.911238035182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32357407-0.32366995) × cos(-0.53695821) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.859268604704328 × 6371000     		du = 524.885498901133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53687583)-sin(-0.53695821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859310741189041-0.859268604704328)×R²
    abs(0.32366995-0.32357407)×4.21364847129624e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.21364847129624e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.21364847129624e-05×40589641000000     		ar = 275489.22405952m²