Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36142 / 47986
↖ ↑ ↗
← S 63.826134°
E 18.533936°		 ← 269.42 m → S 63.826134°
E 18.539429°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
S 63.828557°
E 18.533936°		 ← 269.39 m →
72 586 m²		 S 63.828557°
E 18.539429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551490783691406 y=0.732215881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551490783691406 × 216)
    floor (0.551490783691406 × 65536)
    floor (36142.5)     		tx = 36142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732215881347656 × 216)
    floor (0.732215881347656 × 65536)
    floor (47986.5)     		ty = 47986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36142 / 47986 ti = "16/36142/47986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36142/47986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36142 ÷ 216
    36142 ÷ 65536     		x = 0.551483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47986 ÷ 216
    47986 ÷ 65536     		y = 0.732208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551483154296875 × 2 - 1) × π
    0.10296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32347820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732208251953125 × 2 - 1) × π
    -0.46441650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45900747683603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32347820} λ = 0.32347820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45900747683603))-π/2
    2×atan(0.232466889038032)-π/2
    2×0.228410068966014-π/2
    0.456820137932028-1.57079632675     		φ = -1.11397619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32347820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.533936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11397619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.826134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36142 KachelY 47986 0.32347820 -1.11397619 18.533936 -63.826134
    Oben rechts KachelX + 1 36143 KachelY 47986 0.32357407 -1.11397619 18.539429 -63.826134
    Unten links KachelX 36142 KachelY + 1 47987 0.32347820 -1.11401848 18.533936 -63.828557
    Unten rechts KachelX + 1 36143 KachelY + 1 47987 0.32357407 -1.11401848 18.539429 -63.828557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11397619--1.11401848) × R
    4.22899999998894e-05 × 6371000     		dl = 269.429589999295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11397619--1.11401848) × R
    4.22899999998894e-05 × 6371000     		dr = 269.429589999295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32347820-0.32357407) × cos(-1.11397619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441096542905223 × 6371000     		do = 269.416373795784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32347820-0.32357407) × cos(-1.11401848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441058588941809 × 6371000     		du = 269.393191979109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11397619)-sin(-1.11401848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441096542905223-0.441058588941809)×R²
    abs(0.32357407-0.32347820)×3.79539634131065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79539634131065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79539634131065e-05×40589641000000     		ar = 72585.6202079455m²