Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36142 / 105295
↖ ↑ ↗
← S 73.085834°
W 80.733032°		 ← 88.86 m → S 73.085834°
W 80.730286°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 73.086633°
W 80.733032°		 ← 88.86 m →
7 897 m²		 S 73.086633°
W 80.730286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275745391845703 y=0.803340911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275745391845703 × 217)
    floor (0.275745391845703 × 131072)
    floor (36142.5)     		tx = 36142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803340911865234 × 217)
    floor (0.803340911865234 × 131072)
    floor (105295.5)     		ty = 105295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36142 / 105295 ti = "17/36142/105295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36142/105295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36142 ÷ 217
    36142 ÷ 131072     		x = 0.275741577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105295 ÷ 217
    105295 ÷ 131072     		y = 0.803337097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275741577148438 × 2 - 1) × π
    -0.448516845703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40905723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803337097167969 × 2 - 1) × π
    -0.606674194335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.90592319199381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40905723} λ = -1.40905723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90592319199381))-π/2
    2×atan(0.14868531415)-π/2
    2×0.147603943962676-π/2
    0.295207887925352-1.57079632675     		φ = -1.27558844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40905723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.733032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27558844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.085834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36142 KachelY 105295 -1.40905723 -1.27558844 -80.733032 -73.085834
    Oben rechts KachelX + 1 36143 KachelY 105295 -1.40900929 -1.27558844 -80.730286 -73.085834
    Unten links KachelX 36142 KachelY + 1 105296 -1.40905723 -1.27560239 -80.733032 -73.086633
    Unten rechts KachelX + 1 36143 KachelY + 1 105296 -1.40900929 -1.27560239 -80.730286 -73.086633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27558844--1.27560239) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27558844--1.27560239) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40905723--1.40900929) × cos(-1.27558844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290938750370487 × 6371000     		do = 88.860183126523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40905723--1.40900929) × cos(-1.27560239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290925403795733 × 6371000     		du = 88.8561067390524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27558844)-sin(-1.27560239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290938750370487-0.290925403795733)×R²
    abs(-1.40900929--1.40905723)×1.33465747537143e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33465747537143e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33465747537143e-05×40589641000000     		ar = 7897.30761728899m²