Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36141 / 47987
↖ ↑ ↗
← S 63.828557°
E 18.528442°		 ← 269.42 m → S 63.828557°
E 18.533936°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
S 63.830980°
E 18.528442°		 ← 269.40 m →
72 570 m²		 S 63.830980°
E 18.533936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551475524902344 y=0.732231140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551475524902344 × 216)
    floor (0.551475524902344 × 65536)
    floor (36141.5)     		tx = 36141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732231140136719 × 216)
    floor (0.732231140136719 × 65536)
    floor (47987.5)     		ty = 47987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36141 / 47987 ti = "16/36141/47987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36141/47987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36141 ÷ 216
    36141 ÷ 65536     		x = 0.551467895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47987 ÷ 216
    47987 ÷ 65536     		y = 0.732223510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551467895507812 × 2 - 1) × π
    0.102935791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32338232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732223510742188 × 2 - 1) × π
    -0.464447021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45910335063527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32338232} λ = 0.32338232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45910335063527))-π/2
    2×atan(0.232444602622541)-π/2
    2×0.228388925074925-π/2
    0.45677785014985-1.57079632675     		φ = -1.11401848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32338232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.528442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11401848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.828557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36141 KachelY 47987 0.32338232 -1.11401848 18.528442 -63.828557
    Oben rechts KachelX + 1 36142 KachelY 47987 0.32347820 -1.11401848 18.533936 -63.828557
    Unten links KachelX 36141 KachelY + 1 47988 0.32338232 -1.11406076 18.528442 -63.830980
    Unten rechts KachelX + 1 36142 KachelY + 1 47988 0.32347820 -1.11406076 18.533936 -63.830980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11401848--1.11406076) × R
    4.22800000001722e-05 × 6371000     		dl = 269.365880001097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11401848--1.11406076) × R
    4.22800000001722e-05 × 6371000     		dr = 269.365880001097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32338232-0.32347820) × cos(-1.11401848) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.441058588941809 × 6371000     		do = 269.421291821795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32338232-0.32347820) × cos(-1.11406076) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.441020643164557 × 6371000     		du = 269.398112587601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11401848)-sin(-1.11406076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441058588941809-0.441020643164557)×R²
    abs(0.32347820-0.32338232)×3.79457772524128e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.79457772524128e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.79457772524128e-05×40589641000000     		ar = 72569.7815259858m²