Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36141 / 105269
↖ ↑ ↗
← S 73.065045°
W 80.735779°		 ← 88.95 m → S 73.065045°
W 80.733032°		 →
↑
88.94 m
↓
↑
88.94 m
↓
S 73.065845°
W 80.735779°		 ← 88.94 m →
7 911 m²		 S 73.065845°
W 80.733032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275737762451172 y=0.803142547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275737762451172 × 217)
    floor (0.275737762451172 × 131072)
    floor (36141.5)     		tx = 36141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803142547607422 × 217)
    floor (0.803142547607422 × 131072)
    floor (105269.5)     		ty = 105269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36141 / 105269 ti = "17/36141/105269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36141/105269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36141 ÷ 217
    36141 ÷ 131072     		x = 0.275733947753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105269 ÷ 217
    105269 ÷ 131072     		y = 0.803138732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275733947753906 × 2 - 1) × π
    -0.448532104492188 × 3.1415926535     		Λ = -1.40910516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803138732910156 × 2 - 1) × π
    -0.606277465820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.90467683260369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40910516} λ = -1.40910516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90467683260369))-π/2
    2×atan(0.148870745020213)-π/2
    2×0.147785359223381-π/2
    0.295570718446763-1.57079632675     		φ = -1.27522561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40910516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.735779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27522561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.065045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36141 KachelY 105269 -1.40910516 -1.27522561 -80.735779 -73.065045
    Oben rechts KachelX + 1 36142 KachelY 105269 -1.40905723 -1.27522561 -80.733032 -73.065045
    Unten links KachelX 36141 KachelY + 1 105270 -1.40910516 -1.27523957 -80.735779 -73.065845
    Unten rechts KachelX + 1 36142 KachelY + 1 105270 -1.40905723 -1.27523957 -80.733032 -73.065845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27522561--1.27523957) × R
    1.39600000002016e-05 × 6371000     		dl = 88.9391600012843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27522561--1.27523957) × R
    1.39600000002016e-05 × 6371000     		dr = 88.9391600012843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40910516--1.40905723) × cos(-1.27522561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291285865796464 × 6371000     		do = 88.9476432899703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40910516--1.40905723) × cos(-1.27523957) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291272511128734 × 6371000     		du = 88.9435652815223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27522561)-sin(-1.27523957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291285865796464-0.291272511128734)×R²
    abs(-1.40905723--1.40910516)×1.33546677301144e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33546677301144e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33546677301144e-05×40589641000000     		ar = 7910.74733112226m²