Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36140 / 105260
↖ ↑ ↗
← S 73.057843°
W 80.738525°		 ← 89 m → S 73.057843°
W 80.735779°		 →
↑
89 m
↓
↑
89 m
↓
S 73.058644°
W 80.738525°		 ← 89 m →
7 921 m²		 S 73.058644°
W 80.735779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275730133056641 y=0.803073883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275730133056641 × 217)
    floor (0.275730133056641 × 131072)
    floor (36140.5)     		tx = 36140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803073883056641 × 217)
    floor (0.803073883056641 × 131072)
    floor (105260.5)     		ty = 105260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36140 / 105260 ti = "17/36140/105260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36140/105260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36140 ÷ 217
    36140 ÷ 131072     		x = 0.275726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105260 ÷ 217
    105260 ÷ 131072     		y = 0.803070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275726318359375 × 2 - 1) × π
    -0.44854736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40915310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803070068359375 × 2 - 1) × π
    -0.60614013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90424540050711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40915310} λ = -1.40915310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90424540050711))-π/2
    2×atan(0.148934986494777)-π/2
    2×0.147848207227981-π/2
    0.295696414455963-1.57079632675     		φ = -1.27509991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40915310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.738525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27509991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.057843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36140 KachelY 105260 -1.40915310 -1.27509991 -80.738525 -73.057843
    Oben rechts KachelX + 1 36141 KachelY 105260 -1.40910516 -1.27509991 -80.735779 -73.057843
    Unten links KachelX 36140 KachelY + 1 105261 -1.40915310 -1.27511388 -80.738525 -73.058644
    Unten rechts KachelX + 1 36141 KachelY + 1 105261 -1.40910516 -1.27511388 -80.735779 -73.058644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27509991--1.27511388) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dl = 89.0028699994825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27509991--1.27511388) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dr = 89.0028699994825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40915310--1.40910516) × cos(-1.27509991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291406112647206 × 6371000     		do = 89.0029275957379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40915310--1.40910516) × cos(-1.27511388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291392748924675 × 6371000     		du = 88.9988459708948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27509991)-sin(-1.27511388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291406112647206-0.291392748924675)×R²
    abs(-1.40910516--1.40915310)×1.33637225308014e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33637225308014e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33637225308014e-05×40589641000000     		ar = 7921.33435621165m²