Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36139 / 38643
↖ ↑ ↗
← S 30.689888°
E 18.517456°		 ← 525.24 m → S 30.689888°
E 18.522949°		 →
↑
525.23 m
↓
↑
525.23 m
↓
S 30.694611°
E 18.517456°		 ← 525.22 m →
275 864 m²		 S 30.694611°
E 18.522949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551445007324219 y=0.589653015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551445007324219 × 216)
    floor (0.551445007324219 × 65536)
    floor (36139.5)     		tx = 36139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589653015136719 × 216)
    floor (0.589653015136719 × 65536)
    floor (38643.5)     		ty = 38643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36139 / 38643 ti = "16/36139/38643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36139/38643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36139 ÷ 216
    36139 ÷ 65536     		x = 0.551437377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38643 ÷ 216
    38643 ÷ 65536     		y = 0.589645385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551437377929688 × 2 - 1) × π
    0.102874755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32319058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589645385742188 × 2 - 1) × π
    -0.179290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.56325857053566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32319058} λ = 0.32319058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56325857053566))-π/2
    2×atan(0.569350768161767)-π/2
    2×0.517578368311838-π/2
    1.03515673662368-1.57079632675     		φ = -0.53563959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32319058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.517456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53563959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.689888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36139 KachelY 38643 0.32319058 -0.53563959 18.517456 -30.689888
    Oben rechts KachelX + 1 36140 KachelY 38643 0.32328645 -0.53563959 18.522949 -30.689888
    Unten links KachelX 36139 KachelY + 1 38644 0.32319058 -0.53572203 18.517456 -30.694611
    Unten rechts KachelX + 1 36140 KachelY + 1 38644 0.32328645 -0.53572203 18.522949 -30.694611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53563959--0.53572203) × R
    8.24399999999059e-05 × 6371000     		dl = 525.225239999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53563959--0.53572203) × R
    8.24399999999059e-05 × 6371000     		dr = 525.225239999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32319058-0.32328645) × cos(-0.53563959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859942364109233 × 6371000     		do = 525.242278902795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32319058-0.32328645) × cos(-0.53572203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859900284540282 × 6371000     		du = 525.216577216713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53563959)-sin(-0.53572203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859942364109233-0.859900284540282)×R²
    abs(0.32328645-0.32319058)×4.2079568950748e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2079568950748e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2079568950748e-05×40589641000000     		ar = 275863.752563796m²