Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36134 / 38642
↖ ↑ ↗
← S 30.685164°
E 18.489990°		 ← 525.27 m → S 30.685164°
E 18.495483°		 →
↑
525.29 m
↓
↑
525.29 m
↓
S 30.689888°
E 18.489990°		 ← 525.24 m →
275 911 m²		 S 30.689888°
E 18.495483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551368713378906 y=0.589637756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551368713378906 × 216)
    floor (0.551368713378906 × 65536)
    floor (36134.5)     		tx = 36134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589637756347656 × 216)
    floor (0.589637756347656 × 65536)
    floor (38642.5)     		ty = 38642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36134 / 38642 ti = "16/36134/38642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36134/38642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36134 ÷ 216
    36134 ÷ 65536     		x = 0.551361083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38642 ÷ 216
    38642 ÷ 65536     		y = 0.589630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551361083984375 × 2 - 1) × π
    0.10272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32271121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.17926025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.56316269673642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32271121} λ = 0.32271121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56316269673642))-π/2
    2×atan(0.569405356599769)-π/2
    2×0.517619592291176-π/2
    1.03523918458235-1.57079632675     		φ = -0.53555714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32271121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.489990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53555714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.685164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36134 KachelY 38642 0.32271121 -0.53555714 18.489990 -30.685164
    Oben rechts KachelX + 1 36135 KachelY 38642 0.32280708 -0.53555714 18.495483 -30.685164
    Unten links KachelX 36134 KachelY + 1 38643 0.32271121 -0.53563959 18.489990 -30.689888
    Unten rechts KachelX + 1 36135 KachelY + 1 38643 0.32280708 -0.53563959 18.495483 -30.689888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53555714--0.53563959) × R
    8.24500000000672e-05 × 6371000     		dl = 525.288950000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53555714--0.53563959) × R
    8.24500000000672e-05 × 6371000     		dr = 525.288950000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32271121-0.32280708) × cos(-0.53555714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859984442936914 × 6371000     		do = 525.267980136118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32271121-0.32280708) × cos(-0.53563959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859942364109233 × 6371000     		du = 525.242278902795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53555714)-sin(-0.53563959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859984442936914-0.859942364109233)×R²
    abs(0.32280708-0.32271121)×4.20788276810358e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20788276810358e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20788276810358e-05×40589641000000     		ar = 275910.715624071m²