Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36133 / 38647
↖ ↑ ↗
← S 30.708781°
E 18.484497°		 ← 525.19 m → S 30.708781°
E 18.489990°		 →
↑
525.16 m
↓
↑
525.16 m
↓
S 30.713504°
E 18.484497°		 ← 525.17 m →
275 805 m²		 S 30.713504°
E 18.489990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551353454589844 y=0.589714050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551353454589844 × 216)
    floor (0.551353454589844 × 65536)
    floor (36133.5)     		tx = 36133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589714050292969 × 216)
    floor (0.589714050292969 × 65536)
    floor (38647.5)     		ty = 38647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36133 / 38647 ti = "16/36133/38647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36133/38647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36133 ÷ 216
    36133 ÷ 65536     		x = 0.551345825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38647 ÷ 216
    38647 ÷ 65536     		y = 0.589706420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551345825195312 × 2 - 1) × π
    0.102691650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32261533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589706420898438 × 2 - 1) × π
    -0.179412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.56364206573262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32261533} λ = 0.32261533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56364206573262))-π/2
    2×atan(0.56913246673824)-π/2
    2×0.517413492567996-π/2
    1.03482698513599-1.57079632675     		φ = -0.53596934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32261533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.484497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53596934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.708781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36133 KachelY 38647 0.32261533 -0.53596934 18.484497 -30.708781
    Oben rechts KachelX + 1 36134 KachelY 38647 0.32271121 -0.53596934 18.489990 -30.708781
    Unten links KachelX 36133 KachelY + 1 38648 0.32261533 -0.53605177 18.484497 -30.713504
    Unten rechts KachelX + 1 36134 KachelY + 1 38648 0.32271121 -0.53605177 18.489990 -30.713504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53596934--0.53605177) × R
    8.24300000000777e-05 × 6371000     		dl = 525.161530000495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53596934--0.53605177) × R
    8.24300000000777e-05 × 6371000     		dr = 525.161530000495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32261533-0.32271121) × cos(-0.53596934) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.859774015876202 × 6371000     		do = 525.194230063785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32261533-0.32271121) × cos(-0.53605177) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.859731918040387 × 6371000     		du = 525.168514538473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53596934)-sin(-0.53605177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859774015876202-0.859731918040387)×R²
    abs(0.32271121-0.32261533)×4.20978358157686e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.20978358157686e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.20978358157686e-05×40589641000000     		ar = 275805.053161509m²