Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36133 / 103340
↖ ↑ ↗
← S 71.451658°
W 80.757751°		 ← 97.16 m → S 71.451658°
W 80.755005°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
S 71.452532°
W 80.757751°		 ← 97.15 m →
9 439 m²		 S 71.452532°
W 80.755005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275676727294922 y=0.788425445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275676727294922 × 217)
    floor (0.275676727294922 × 131072)
    floor (36133.5)     		tx = 36133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788425445556641 × 217)
    floor (0.788425445556641 × 131072)
    floor (103340.5)     		ty = 103340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36133 / 103340 ti = "17/36133/103340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36133/103340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36133 ÷ 217
    36133 ÷ 131072     		x = 0.275672912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103340 ÷ 217
    103340 ÷ 131072     		y = 0.788421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275672912597656 × 2 - 1) × π
    -0.448654174804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.40948866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788421630859375 × 2 - 1) × π
    -0.57684326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8122065532366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40948866} λ = -1.40948866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8122065532366))-π/2
    2×atan(0.163293423350532)-π/2
    2×0.161864818322703-π/2
    0.323729636645407-1.57079632675     		φ = -1.24706669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40948866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.757751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24706669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.451658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36133 KachelY 103340 -1.40948866 -1.24706669 -80.757751 -71.451658
    Oben rechts KachelX + 1 36134 KachelY 103340 -1.40944072 -1.24706669 -80.755005 -71.451658
    Unten links KachelX 36133 KachelY + 1 103341 -1.40948866 -1.24708194 -80.757751 -71.452532
    Unten rechts KachelX + 1 36134 KachelY + 1 103341 -1.40944072 -1.24708194 -80.755005 -71.452532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24706669--1.24708194) × R
    1.52499999999112e-05 × 6371000     		dl = 97.157749999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24706669--1.24708194) × R
    1.52499999999112e-05 × 6371000     		dr = 97.157749999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40948866--1.40944072) × cos(-1.24706669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318104667912832 × 6371000     		do = 97.1573535946674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40948866--1.40944072) × cos(-1.24708194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318090210027947 × 6371000     		du = 97.1529377844774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24706669)-sin(-1.24708194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318104667912832-0.318090210027947)×R²
    abs(-1.40944072--1.40948866)×1.4457884885466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4457884885466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4457884885466e-05×40589641000000     		ar = 9439.37535628438m²