Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36132 / 103334
↖ ↑ ↗
← S 71.446415°
W 80.760498°		 ← 97.18 m → S 71.446415°
W 80.757751°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
S 71.447289°
W 80.760498°		 ← 97.18 m →
9 448 m²		 S 71.447289°
W 80.757751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275669097900391 y=0.788379669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275669097900391 × 217)
    floor (0.275669097900391 × 131072)
    floor (36132.5)     		tx = 36132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788379669189453 × 217)
    floor (0.788379669189453 × 131072)
    floor (103334.5)     		ty = 103334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36132 / 103334 ti = "17/36132/103334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36132/103334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36132 ÷ 217
    36132 ÷ 131072     		x = 0.275665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103334 ÷ 217
    103334 ÷ 131072     		y = 0.788375854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.44866943359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40953660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788375854492188 × 2 - 1) × π
    -0.576751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81191893183888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40953660} λ = -1.40953660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81191893183888))-π/2
    2×atan(0.163340396788154)-π/2
    2×0.16191057141494-π/2
    0.32382114282988-1.57079632675     		φ = -1.24697518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40953660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.760498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24697518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.446415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36132 KachelY 103334 -1.40953660 -1.24697518 -80.760498 -71.446415
    Oben rechts KachelX + 1 36133 KachelY 103334 -1.40948866 -1.24697518 -80.757751 -71.446415
    Unten links KachelX 36132 KachelY + 1 103335 -1.40953660 -1.24699044 -80.760498 -71.447289
    Unten rechts KachelX + 1 36133 KachelY + 1 103335 -1.40948866 -1.24699044 -80.757751 -71.447289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24697518--1.24699044) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dl = 97.2214600004615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24697518--1.24699044) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dr = 97.2214600004615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40953660--1.40948866) × cos(-1.24697518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318191423148729 × 6371000     		do = 97.18385087679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40953660--1.40948866) × cos(-1.24699044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318176956227505 × 6371000     		du = 97.1794323066695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24697518)-sin(-1.24699044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318191423148729-0.318176956227505)×R²
    abs(-1.40948866--1.40953660)×1.44669212247539e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44669212247539e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44669212247539e-05×40589641000000     		ar = 9448.14108107799m²