Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36131 / 47341
↖ ↑ ↗
← S 62.219316°
E 18.473511°		 ← 284.68 m → S 62.219316°
E 18.479004°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
S 62.221876°
E 18.473511°		 ← 284.66 m →
81 051 m²		 S 62.221876°
E 18.479004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551322937011719 y=0.722373962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551322937011719 × 216)
    floor (0.551322937011719 × 65536)
    floor (36131.5)     		tx = 36131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722373962402344 × 216)
    floor (0.722373962402344 × 65536)
    floor (47341.5)     		ty = 47341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36131 / 47341 ti = "16/36131/47341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36131/47341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36131 ÷ 216
    36131 ÷ 65536     		x = 0.551315307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47341 ÷ 216
    47341 ÷ 65536     		y = 0.722366333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551315307617188 × 2 - 1) × π
    0.102630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32242359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722366333007812 × 2 - 1) × π
    -0.444732666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39716887632616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32242359} λ = 0.32242359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39716887632616))-π/2
    2×atan(0.247296099646963)-π/2
    2×0.242432201147153-π/2
    0.484864402294305-1.57079632675     		φ = -1.08593192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32242359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.473511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08593192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.219316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36131 KachelY 47341 0.32242359 -1.08593192 18.473511 -62.219316
    Oben rechts KachelX + 1 36132 KachelY 47341 0.32251946 -1.08593192 18.479004 -62.219316
    Unten links KachelX 36131 KachelY + 1 47342 0.32242359 -1.08597661 18.473511 -62.221876
    Unten rechts KachelX + 1 36132 KachelY + 1 47342 0.32251946 -1.08597661 18.479004 -62.221876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08593192--1.08597661) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dl = 284.719989999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08593192--1.08597661) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dr = 284.719989999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32242359-0.32251946) × cos(-1.08593192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466088399251475 × 6371000     		do = 284.681094001672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32242359-0.32251946) × cos(-1.08597661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466048859837877 × 6371000     		du = 284.656943811413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08593192)-sin(-1.08597661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466088399251475-0.466048859837877)×R²
    abs(0.32251946-0.32242359)×3.95394135982996e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95394135982996e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95394135982996e-05×40589641000000     		ar = 81050.960229666m²