Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36131 / 38634
↖ ↑ ↗
← S 30.647364°
E 18.473511°		 ← 525.47 m → S 30.647364°
E 18.479004°		 →
↑
525.48 m
↓
↑
525.48 m
↓
S 30.652090°
E 18.473511°		 ← 525.45 m →
276 119 m²		 S 30.652090°
E 18.479004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551322937011719 y=0.589515686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551322937011719 × 216)
    floor (0.551322937011719 × 65536)
    floor (36131.5)     		tx = 36131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589515686035156 × 216)
    floor (0.589515686035156 × 65536)
    floor (38634.5)     		ty = 38634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36131 / 38634 ti = "16/36131/38634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36131/38634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36131 ÷ 216
    36131 ÷ 65536     		x = 0.551315307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38634 ÷ 216
    38634 ÷ 65536     		y = 0.589508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551315307617188 × 2 - 1) × π
    0.102630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32242359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.17901611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.562395706342499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32242359} λ = 0.32242359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562395706342499))-π/2
    2×atan(0.569842252564615)-π/2
    2×0.517949456722176-π/2
    1.03589891344435-1.57079632675     		φ = -0.53489741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32242359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.473511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53489741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.647364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36131 KachelY 38634 0.32242359 -0.53489741 18.473511 -30.647364
    Oben rechts KachelX + 1 36132 KachelY 38634 0.32251946 -0.53489741 18.479004 -30.647364
    Unten links KachelX 36131 KachelY + 1 38635 0.32242359 -0.53497989 18.473511 -30.652090
    Unten rechts KachelX + 1 36132 KachelY + 1 38635 0.32251946 -0.53497989 18.479004 -30.652090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53489741--0.53497989) × R
    8.24799999999959e-05 × 6371000     		dl = 525.480079999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53489741--0.53497989) × R
    8.24799999999959e-05 × 6371000     		dr = 525.480079999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32242359-0.32251946) × cos(-0.53489741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860320929339861 × 6371000     		do = 525.47350191581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32242359-0.32251946) × cos(-0.53497989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860278882004106 × 6371000     		du = 525.44781991737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53489741)-sin(-0.53497989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860320929339861-0.860278882004106)×R²
    abs(0.32251946-0.32242359)×4.20473357544138e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20473357544138e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20473357544138e-05×40589641000000     		ar = 276119.110291926m²