Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36131 / 103335
↖ ↑ ↗
← S 71.447289°
W 80.763244°		 ← 97.16 m → S 71.447289°
W 80.760498°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
S 71.448163°
W 80.763244°		 ← 97.15 m →
9 440 m²		 S 71.448163°
W 80.760498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275661468505859 y=0.788387298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275661468505859 × 217)
    floor (0.275661468505859 × 131072)
    floor (36131.5)     		tx = 36131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788387298583984 × 217)
    floor (0.788387298583984 × 131072)
    floor (103335.5)     		ty = 103335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36131 / 103335 ti = "17/36131/103335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36131/103335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36131 ÷ 217
    36131 ÷ 131072     		x = 0.275657653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103335 ÷ 217
    103335 ÷ 131072     		y = 0.788383483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275657653808594 × 2 - 1) × π
    -0.448684692382812 × 3.1415926535     		Λ = -1.40958453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788383483886719 × 2 - 1) × π
    -0.576766967773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.8119668687385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40958453} λ = -1.40958453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8119668687385))-π/2
    2×atan(0.16333256694362)-π/2
    2×0.161902945033168-π/2
    0.323805890066337-1.57079632675     		φ = -1.24699044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40958453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.763244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24699044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.447289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36131 KachelY 103335 -1.40958453 -1.24699044 -80.763244 -71.447289
    Oben rechts KachelX + 1 36132 KachelY 103335 -1.40953660 -1.24699044 -80.760498 -71.447289
    Unten links KachelX 36131 KachelY + 1 103336 -1.40958453 -1.24700569 -80.763244 -71.448163
    Unten rechts KachelX + 1 36132 KachelY + 1 103336 -1.40953660 -1.24700569 -80.760498 -71.448163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24699044--1.24700569) × R
    1.52499999999112e-05 × 6371000     		dl = 97.157749999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24699044--1.24700569) × R
    1.52499999999112e-05 × 6371000     		dr = 97.157749999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40958453--1.40953660) × cos(-1.24699044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.318176956227505 × 6371000     		do = 97.1591612529114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40958453--1.40953660) × cos(-1.24700569) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.318162498712549 × 6371000     		du = 97.1547464767958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24699044)-sin(-1.24700569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318176956227505-0.318162498712549)×R²
    abs(-1.40953660--1.40958453)×1.44575149557125e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44575149557125e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44575149557125e-05×40589641000000     		ar = 9439.55103430362m²