Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3613 / 3598
↖ ↑ ↗
← N 70.510241°
W100.612793°		 ← 815.17 m → N 70.510241°
W100.590820°		 →
↑
815.36 m
↓
↑
815.36 m
↓
N 70.502908°
W100.612793°		 ← 815.47 m →
664 779 m²		 N 70.502908°
W100.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220550537109375 y=0.219635009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220550537109375 × 214)
    floor (0.220550537109375 × 16384)
    floor (3613.5)     		tx = 3613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219635009765625 × 214)
    floor (0.219635009765625 × 16384)
    floor (3598.5)     		ty = 3598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3613 / 3598 ti = "14/3613/3598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3613/3598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3613 ÷ 214
    3613 ÷ 16384     		x = 0.22052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3598 ÷ 214
    3598 ÷ 16384     		y = 0.2196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.5589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75602451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2196044921875 × 2 - 1) × π
    0.560791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7617769348363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75602451} λ = -1.75602451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7617769348363))-π/2
    2×atan(5.82277489870824)-π/2
    2×1.40071609155375-π/2
    2.80143218310751-1.57079632675     		φ = 1.23063586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75602451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23063586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.510241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3613 KachelY 3598 -1.75602451 1.23063586 -100.612793 70.510241
    Oben rechts KachelX + 1 3614 KachelY 3598 -1.75564101 1.23063586 -100.590820 70.510241
    Unten links KachelX 3613 KachelY + 1 3599 -1.75602451 1.23050788 -100.612793 70.502908
    Unten rechts KachelX + 1 3614 KachelY + 1 3599 -1.75564101 1.23050788 -100.590820 70.502908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23063586-1.23050788) × R
    0.000127980000000028 × 6371000     		dl = 815.360580000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23063586-1.23050788) × R
    0.000127980000000028 × 6371000     		dr = 815.360580000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75602451--1.75564101) × cos(1.23063586) × R
    0.000383500000000092 × 0.333638368666138 × 6371000     		do = 815.171452937244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75602451--1.75564101) × cos(1.23050788) × R
    0.000383500000000092 × 0.333759012825367 × 6371000     		du = 815.466220217639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23063586)-sin(1.23050788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333638368666138-0.333759012825367)×R²
    abs(-1.75564101--1.75602451)×0.000120644159229022×R²
    0.000383500000000092×0.000120644159229022×6371000²
    0.000383500000000092×0.000120644159229022×40589641000000     		ar = 664778.840384083m²