Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36129 / 47325
↖ ↑ ↗
← S 62.178324°
E 18.462524°		 ← 285.07 m → S 62.178324°
E 18.468017°		 →
↑
285.04 m
↓
↑
285.04 m
↓
S 62.180887°
E 18.462524°		 ← 285.04 m →
81 252 m²		 S 62.180887°
E 18.468017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551292419433594 y=0.722129821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551292419433594 × 216)
    floor (0.551292419433594 × 65536)
    floor (36129.5)     		tx = 36129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722129821777344 × 216)
    floor (0.722129821777344 × 65536)
    floor (47325.5)     		ty = 47325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36129 / 47325 ti = "16/36129/47325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36129/47325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36129 ÷ 216
    36129 ÷ 65536     		x = 0.551284790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47325 ÷ 216
    47325 ÷ 65536     		y = 0.722122192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551284790039062 × 2 - 1) × π
    0.102569580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32223184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722122192382812 × 2 - 1) × π
    -0.444244384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39563489553831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32223184} λ = 0.32223184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39563489553831))-π/2
    2×atan(0.247675738217423)-π/2
    2×0.24278992913273-π/2
    0.48557985826546-1.57079632675     		φ = -1.08521647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32223184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.462524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08521647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.178324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36129 KachelY 47325 0.32223184 -1.08521647 18.462524 -62.178324
    Oben rechts KachelX + 1 36130 KachelY 47325 0.32232771 -1.08521647 18.468017 -62.178324
    Unten links KachelX 36129 KachelY + 1 47326 0.32223184 -1.08526121 18.462524 -62.180887
    Unten rechts KachelX + 1 36130 KachelY + 1 47326 0.32232771 -1.08526121 18.468017 -62.180887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08521647--1.08526121) × R
    4.47400000000986e-05 × 6371000     		dl = 285.038540000628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08521647--1.08526121) × R
    4.47400000000986e-05 × 6371000     		dr = 285.038540000628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32223184-0.32232771) × cos(-1.08521647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466721265822915 × 6371000     		do = 285.067641163549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32223184-0.32232771) × cos(-1.08526121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466681697099995 × 6371000     		du = 285.043473071515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08521647)-sin(-1.08526121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466721265822915-0.466681697099995)×R²
    abs(0.32232771-0.32223184)×3.95687229199915e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95687229199915e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95687229199915e-05×40589641000000     		ar = 81251.8198335297m²