Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36128 / 105288
↖ ↑ ↗
← S 73.080240°
W 80.771484°		 ← 88.87 m → S 73.080240°
W 80.768738°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 73.081039°
W 80.771484°		 ← 88.87 m →
7 898 m²		 S 73.081039°
W 80.768738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275638580322266 y=0.803287506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275638580322266 × 217)
    floor (0.275638580322266 × 131072)
    floor (36128.5)     		tx = 36128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803287506103516 × 217)
    floor (0.803287506103516 × 131072)
    floor (105288.5)     		ty = 105288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36128 / 105288 ti = "17/36128/105288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36128/105288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36128 ÷ 217
    36128 ÷ 131072     		x = 0.275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105288 ÷ 217
    105288 ÷ 131072     		y = 0.80328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.44873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40972834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.6065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90558763369647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40972834} λ = -1.40972834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90558763369647))-π/2
    2×atan(0.148735215112729)-π/2
    2×0.147652765255071-π/2
    0.295305530510141-1.57079632675     		φ = -1.27549080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40972834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.771484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27549080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.080240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36128 KachelY 105288 -1.40972834 -1.27549080 -80.771484 -73.080240
    Oben rechts KachelX + 1 36129 KachelY 105288 -1.40968041 -1.27549080 -80.768738 -73.080240
    Unten links KachelX 36128 KachelY + 1 105289 -1.40972834 -1.27550475 -80.771484 -73.081039
    Unten rechts KachelX + 1 36129 KachelY + 1 105289 -1.40968041 -1.27550475 -80.768738 -73.081039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27549080--1.27550475) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27549080--1.27550475) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40972834--1.40968041) × cos(-1.27549080) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291032165241197 × 6371000     		do = 88.8701727734017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40972834--1.40968041) × cos(-1.27550475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291018819062779 × 6371000     		du = 88.8660973572673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27549080)-sin(-1.27550475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291032165241197-0.291018819062779)×R²
    abs(-1.40968041--1.40972834)×1.33461784178612e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33461784178612e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33461784178612e-05×40589641000000     		ar = 7898.19549491483m²