Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36128 / 103332
↖ ↑ ↗
← S 71.444667°
W 80.771484°		 ← 97.17 m → S 71.444667°
W 80.768738°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
S 71.445541°
W 80.771484°		 ← 97.17 m →
9 441 m²		 S 71.445541°
W 80.768738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275638580322266 y=0.788364410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275638580322266 × 217)
    floor (0.275638580322266 × 131072)
    floor (36128.5)     		tx = 36128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788364410400391 × 217)
    floor (0.788364410400391 × 131072)
    floor (103332.5)     		ty = 103332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36128 / 103332 ti = "17/36128/103332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36128/103332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36128 ÷ 217
    36128 ÷ 131072     		x = 0.275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103332 ÷ 217
    103332 ÷ 131072     		y = 0.788360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.44873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40972834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.57672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81182305803964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40972834} λ = -1.40972834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81182305803964))-π/2
    2×atan(0.163356057603282)-π/2
    2×0.161925825218275-π/2
    0.323851650436549-1.57079632675     		φ = -1.24694468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40972834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.771484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24694468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.444667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36128 KachelY 103332 -1.40972834 -1.24694468 -80.771484 -71.444667
    Oben rechts KachelX + 1 36129 KachelY 103332 -1.40968041 -1.24694468 -80.768738 -71.444667
    Unten links KachelX 36128 KachelY + 1 103333 -1.40972834 -1.24695993 -80.771484 -71.445541
    Unten rechts KachelX + 1 36129 KachelY + 1 103333 -1.40968041 -1.24695993 -80.768738 -71.445541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24694468--1.24695993) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dl = 97.1577500008487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24694468--1.24695993) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dr = 97.1577500008487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40972834--1.40968041) × cos(-1.24694468) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.31822033780855 × 6371000     		do = 97.1724083405641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40972834--1.40968041) × cos(-1.24695993) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.318205880515641 × 6371000     		du = 97.1679936322531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24694468)-sin(-1.24695993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31822033780855-0.318205880515641)×R²
    abs(-1.40968041--1.40972834)×1.44572929092202e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44572929092202e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44572929092202e-05×40589641000000     		ar = 9440.83809524837m²