Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36127 / 37919
↖ ↑ ↗
← S 27.210671°
E 18.451538°		 ← 543.25 m → S 27.210671°
E 18.457032°		 →
↑
543.19 m
↓
↑
543.19 m
↓
S 27.215556°
E 18.451538°		 ← 543.23 m →
295 082 m²		 S 27.215556°
E 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551261901855469 y=0.578605651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551261901855469 × 216)
    floor (0.551261901855469 × 65536)
    floor (36127.5)     		tx = 36127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578605651855469 × 216)
    floor (0.578605651855469 × 65536)
    floor (37919.5)     		ty = 37919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36127 / 37919 ti = "16/36127/37919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36127/37919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36127 ÷ 216
    36127 ÷ 65536     		x = 0.551254272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37919 ÷ 216
    37919 ÷ 65536     		y = 0.578598022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551254272460938 × 2 - 1) × π
    0.102508544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32204009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578598022460938 × 2 - 1) × π
    -0.157196044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.493845939885818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32204009} λ = 0.32204009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.493845939885818))-π/2
    2×atan(0.61027479485334)-π/2
    2×0.547940262446316-π/2
    1.09588052489263-1.57079632675     		φ = -0.47491580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32204009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.451538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47491580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.210671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36127 KachelY 37919 0.32204009 -0.47491580 18.451538 -27.210671
    Oben rechts KachelX + 1 36128 KachelY 37919 0.32213597 -0.47491580 18.457032 -27.210671
    Unten links KachelX 36127 KachelY + 1 37920 0.32204009 -0.47500106 18.451538 -27.215556
    Unten rechts KachelX + 1 36128 KachelY + 1 37920 0.32213597 -0.47500106 18.457032 -27.215556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47491580--0.47500106) × R
    8.52599999999759e-05 × 6371000     		dl = 543.191459999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47491580--0.47500106) × R
    8.52599999999759e-05 × 6371000     		dr = 543.191459999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32204009-0.32213597) × cos(-0.47491580) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.889331226367993 × 6371000     		do = 543.249295837062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32204009-0.32213597) × cos(-0.47500106) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.889292236843915 × 6371000     		du = 543.225479028574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47491580)-sin(-0.47500106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889331226367993-0.889292236843915)×R²
    abs(0.32213597-0.32204009)×3.89895240779925e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.89895240779925e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.89895240779925e-05×40589641000000     		ar = 295081.909784769m²