Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36127 / 103321
↖ ↑ ↗
← S 71.435050°
W 80.774231°		 ← 97.24 m → S 71.435050°
W 80.771484°		 →
↑
97.29 m
↓
↑
97.29 m
↓
S 71.435925°
W 80.774231°		 ← 97.24 m →
9 460 m²		 S 71.435925°
W 80.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275630950927734 y=0.788280487060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275630950927734 × 217)
    floor (0.275630950927734 × 131072)
    floor (36127.5)     		tx = 36127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788280487060547 × 217)
    floor (0.788280487060547 × 131072)
    floor (103321.5)     		ty = 103321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36127 / 103321 ti = "17/36127/103321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36127/103321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36127 ÷ 217
    36127 ÷ 131072     		x = 0.275627136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103321 ÷ 217
    103321 ÷ 131072     		y = 0.788276672363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275627136230469 × 2 - 1) × π
    -0.448745727539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.40977628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788276672363281 × 2 - 1) × π
    -0.576553344726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.81129575214382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40977628} λ = -1.40977628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81129575214382))-π/2
    2×atan(0.163442218930266)-π/2
    2×0.162009745922955-π/2
    0.32401949184591-1.57079632675     		φ = -1.24677683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40977628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.774231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24677683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.435050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36127 KachelY 103321 -1.40977628 -1.24677683 -80.774231 -71.435050
    Oben rechts KachelX + 1 36128 KachelY 103321 -1.40972834 -1.24677683 -80.771484 -71.435050
    Unten links KachelX 36127 KachelY + 1 103322 -1.40977628 -1.24679210 -80.774231 -71.435925
    Unten rechts KachelX + 1 36128 KachelY + 1 103322 -1.40972834 -1.24679210 -80.771484 -71.435925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24677683--1.24679210) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dl = 97.2851700000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24677683--1.24679210) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dr = 97.2851700000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40977628--1.40972834) × cos(-1.24677683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318379457941744 × 6371000     		do = 97.2412815425923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40977628--1.40972834) × cos(-1.24679210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318364982504208 × 6371000     		du = 97.2368603713711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24677683)-sin(-1.24679210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318379457941744-0.318364982504208)×R²
    abs(-1.40972834--1.40977628)×1.44754375356326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44754375356326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44754375356326e-05×40589641000000     		ar = 9459.91954879691m²