Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36127 / 103318
↖ ↑ ↗
← S 71.432427°
W 80.774231°		 ← 97.25 m → S 71.432427°
W 80.771484°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
S 71.433302°
W 80.774231°		 ← 97.25 m →
9 455 m²		 S 71.433302°
W 80.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275630950927734 y=0.788257598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275630950927734 × 217)
    floor (0.275630950927734 × 131072)
    floor (36127.5)     		tx = 36127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788257598876953 × 217)
    floor (0.788257598876953 × 131072)
    floor (103318.5)     		ty = 103318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36127 / 103318 ti = "17/36127/103318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36127/103318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36127 ÷ 217
    36127 ÷ 131072     		x = 0.275627136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103318 ÷ 217
    103318 ÷ 131072     		y = 0.788253784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275627136230469 × 2 - 1) × π
    -0.448745727539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.40977628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788253784179688 × 2 - 1) × π
    -0.576507568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81115194144496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40977628} λ = -1.40977628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81115194144496))-π/2
    2×atan(0.163465725360191)-π/2
    2×0.162032640669338-π/2
    0.324065281338676-1.57079632675     		φ = -1.24673105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40977628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.774231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24673105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.432427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36127 KachelY 103318 -1.40977628 -1.24673105 -80.774231 -71.432427
    Oben rechts KachelX + 1 36128 KachelY 103318 -1.40972834 -1.24673105 -80.771484 -71.432427
    Unten links KachelX 36127 KachelY + 1 103319 -1.40977628 -1.24674631 -80.774231 -71.433302
    Unten rechts KachelX + 1 36128 KachelY + 1 103319 -1.40972834 -1.24674631 -80.771484 -71.433302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24673105--1.24674631) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dl = 97.2214600004615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24673105--1.24674631) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dr = 97.2214600004615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40977628--1.40972834) × cos(-1.24673105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318422855370449 × 6371000     		do = 97.2545362343687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40977628--1.40972834) × cos(-1.24674631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318408389635027 × 6371000     		du = 97.2501180264226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24673105)-sin(-1.24674631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318422855370449-0.318408389635027)×R²
    abs(-1.40972834--1.40977628)×1.44657354226863e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44657354226863e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44657354226863e-05×40589641000000     		ar = 9455.01323232329m²