Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36126 / 105292
↖ ↑ ↗
← S 73.083437°
W 80.776978°		 ← 88.87 m → S 73.083437°
W 80.774231°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
S 73.084235°
W 80.776978°		 ← 88.87 m →
7 893 m²		 S 73.084235°
W 80.774231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275623321533203 y=0.803318023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275623321533203 × 217)
    floor (0.275623321533203 × 131072)
    floor (36126.5)     		tx = 36126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803318023681641 × 217)
    floor (0.803318023681641 × 131072)
    floor (105292.5)     		ty = 105292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36126 / 105292 ti = "17/36126/105292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36126/105292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36126 ÷ 217
    36126 ÷ 131072     		x = 0.275619506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105292 ÷ 217
    105292 ÷ 131072     		y = 0.803314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275619506835938 × 2 - 1) × π
    -0.448760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40982422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803314208984375 × 2 - 1) × π
    -0.60662841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90577938129495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40982422} λ = -1.40982422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90577938129495))-π/2
    2×atan(0.148706698226531)-π/2
    2×0.147624865454514-π/2
    0.295249730909028-1.57079632675     		φ = -1.27554660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40982422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.776978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27554660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.083437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36126 KachelY 105292 -1.40982422 -1.27554660 -80.776978 -73.083437
    Oben rechts KachelX + 1 36127 KachelY 105292 -1.40977628 -1.27554660 -80.774231 -73.083437
    Unten links KachelX 36126 KachelY + 1 105293 -1.40982422 -1.27556054 -80.776978 -73.084235
    Unten rechts KachelX + 1 36127 KachelY + 1 105293 -1.40977628 -1.27556054 -80.774231 -73.084235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27554660--1.27556054) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27554660--1.27556054) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40982422--1.40977628) × cos(-1.27554660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290978780187738 × 6371000     		do = 88.872409263079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40982422--1.40977628) × cos(-1.27556054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290965443350139 × 6371000     		du = 88.8683358495861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27554660)-sin(-1.27556054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290978780187738-0.290965443350139)×R²
    abs(-1.40977628--1.40982422)×1.3336837598632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3336837598632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3336837598632e-05×40589641000000     		ar = 7892.73242148684m²