Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36126 / 103320
↖ ↑ ↗
← S 71.434176°
W 80.776978°		 ← 97.25 m → S 71.434176°
W 80.774231°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
S 71.435050°
W 80.776978°		 ← 97.24 m →
9 454 m²		 S 71.435050°
W 80.774231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275623321533203 y=0.788272857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275623321533203 × 217)
    floor (0.275623321533203 × 131072)
    floor (36126.5)     		tx = 36126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788272857666016 × 217)
    floor (0.788272857666016 × 131072)
    floor (103320.5)     		ty = 103320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36126 / 103320 ti = "17/36126/103320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36126/103320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36126 ÷ 217
    36126 ÷ 131072     		x = 0.275619506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103320 ÷ 217
    103320 ÷ 131072     		y = 0.78826904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275619506835938 × 2 - 1) × π
    -0.448760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40982422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.5765380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8112478152442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40982422} λ = -1.40982422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8112478152442))-π/2
    2×atan(0.163450054031302)-π/2
    2×0.16201737715829-π/2
    0.32403475431658-1.57079632675     		φ = -1.24676157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40982422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.776978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24676157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.434176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36126 KachelY 103320 -1.40982422 -1.24676157 -80.776978 -71.434176
    Oben rechts KachelX + 1 36127 KachelY 103320 -1.40977628 -1.24676157 -80.774231 -71.434176
    Unten links KachelX 36126 KachelY + 1 103321 -1.40982422 -1.24677683 -80.776978 -71.435050
    Unten rechts KachelX + 1 36127 KachelY + 1 103321 -1.40977628 -1.24677683 -80.774231 -71.435050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24676157--1.24677683) × R
    1.52599999998504e-05 × 6371000     		dl = 97.2214599990469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24676157--1.24677683) × R
    1.52599999998504e-05 × 6371000     		dr = 97.2214599990469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40982422--1.40977628) × cos(-1.24676157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318393923825457 × 6371000     		do = 97.2456997958301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40982422--1.40977628) × cos(-1.24677683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318379457941744 × 6371000     		du = 97.2412815425923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24676157)-sin(-1.24677683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318393923825457-0.318379457941744)×R²
    abs(-1.40977628--1.40982422)×1.44658837131217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44658837131217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44658837131217e-05×40589641000000     		ar = 9454.1541384536m²