Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36125 / 105291
↖ ↑ ↗
← S 73.082637°
W 80.779724°		 ← 88.86 m → S 73.082637°
W 80.776978°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 73.083437°
W 80.779724°		 ← 88.85 m →
7 897 m²		 S 73.083437°
W 80.776978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275615692138672 y=0.803310394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275615692138672 × 217)
    floor (0.275615692138672 × 131072)
    floor (36125.5)     		tx = 36125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803310394287109 × 217)
    floor (0.803310394287109 × 131072)
    floor (105291.5)     		ty = 105291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36125 / 105291 ti = "17/36125/105291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36125/105291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36125 ÷ 217
    36125 ÷ 131072     		x = 0.275611877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105291 ÷ 217
    105291 ÷ 131072     		y = 0.803306579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275611877441406 × 2 - 1) × π
    -0.448776245117188 × 3.1415926535     		Λ = -1.40987215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803306579589844 × 2 - 1) × π
    -0.606613159179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.90573144439533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40987215} λ = -1.40987215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90573144439533))-π/2
    2×atan(0.148713826935459)-π/2
    2×0.147631839924829-π/2
    0.295263679849658-1.57079632675     		φ = -1.27553265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40987215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.779724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27553265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.082637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36125 KachelY 105291 -1.40987215 -1.27553265 -80.779724 -73.082637
    Oben rechts KachelX + 1 36126 KachelY 105291 -1.40982422 -1.27553265 -80.776978 -73.082637
    Unten links KachelX 36125 KachelY + 1 105292 -1.40987215 -1.27554660 -80.779724 -73.083437
    Unten rechts KachelX + 1 36126 KachelY + 1 105292 -1.40982422 -1.27554660 -80.776978 -73.083437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27553265--1.27554660) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27553265--1.27554660) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40987215--1.40982422) × cos(-1.27553265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290992126536047 × 6371000     		do = 88.8579464731186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40987215--1.40982422) × cos(-1.27554660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290978780187738 × 6371000     		du = 88.8538710051059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27553265)-sin(-1.27554660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290992126536047-0.290978780187738)×R²
    abs(-1.40982422--1.40987215)×1.33463483090179e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33463483090179e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33463483090179e-05×40589641000000     		ar = 7897.10887449207m²