Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36125 / 103301
↖ ↑ ↗
← S 71.417553°
W 80.779724°		 ← 97.31 m → S 71.417553°
W 80.776978°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
S 71.418429°
W 80.779724°		 ← 97.30 m →
9 473 m²		 S 71.418429°
W 80.776978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275615692138672 y=0.788127899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275615692138672 × 217)
    floor (0.275615692138672 × 131072)
    floor (36125.5)     		tx = 36125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788127899169922 × 217)
    floor (0.788127899169922 × 131072)
    floor (103301.5)     		ty = 103301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36125 / 103301 ti = "17/36125/103301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36125/103301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36125 ÷ 217
    36125 ÷ 131072     		x = 0.275611877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103301 ÷ 217
    103301 ÷ 131072     		y = 0.788124084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275611877441406 × 2 - 1) × π
    -0.448776245117188 × 3.1415926535     		Λ = -1.40987215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788124084472656 × 2 - 1) × π
    -0.576248168945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.81033701415142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40987215} λ = -1.40987215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81033701415142))-π/2
    2×atan(0.163598992335418)-π/2
    2×0.162162436535304-π/2
    0.324324873070609-1.57079632675     		φ = -1.24647145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40987215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.779724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24647145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.417553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36125 KachelY 103301 -1.40987215 -1.24647145 -80.779724 -71.417553
    Oben rechts KachelX + 1 36126 KachelY 103301 -1.40982422 -1.24647145 -80.776978 -71.417553
    Unten links KachelX 36125 KachelY + 1 103302 -1.40987215 -1.24648673 -80.779724 -71.418429
    Unten rechts KachelX + 1 36126 KachelY + 1 103302 -1.40982422 -1.24648673 -80.776978 -71.418429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24647145--1.24648673) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dl = 97.3488799996871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24647145--1.24648673) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dr = 97.3488799996871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40987215--1.40982422) × cos(-1.24647145) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.318668932140779 × 6371000     		do = 97.3093920165001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40987215--1.40982422) × cos(-1.24648673) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.318654448709827 × 6371000     		du = 97.3049693266233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24647145)-sin(-1.24648673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318668932140779-0.318654448709827)×R²
    abs(-1.40982422--1.40987215)×1.44834309518949e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44834309518949e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44834309518949e-05×40589641000000     		ar = 9472.74505454085m²