Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36124 / 103293
↖ ↑ ↗
← S 71.410550°
W 80.782471°		 ← 97.37 m → S 71.410550°
W 80.779724°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
S 71.411426°
W 80.782471°		 ← 97.36 m →
9 478 m²		 S 71.411426°
W 80.779724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275608062744141 y=0.788066864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275608062744141 × 217)
    floor (0.275608062744141 × 131072)
    floor (36124.5)     		tx = 36124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788066864013672 × 217)
    floor (0.788066864013672 × 131072)
    floor (103293.5)     		ty = 103293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36124 / 103293 ti = "17/36124/103293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36124/103293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36124 ÷ 217
    36124 ÷ 131072     		x = 0.275604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103293 ÷ 217
    103293 ÷ 131072     		y = 0.788063049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.44879150390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40992009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788063049316406 × 2 - 1) × π
    -0.576126098632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.80995351895446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40992009} λ = -1.40992009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80995351895446))-π/2
    2×atan(0.163661743794879)-π/2
    2×0.162223551643986-π/2
    0.324447103287971-1.57079632675     		φ = -1.24634922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40992009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.782471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24634922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.410550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36124 KachelY 103293 -1.40992009 -1.24634922 -80.782471 -71.410550
    Oben rechts KachelX + 1 36125 KachelY 103293 -1.40987215 -1.24634922 -80.779724 -71.410550
    Unten links KachelX 36124 KachelY + 1 103294 -1.40992009 -1.24636450 -80.782471 -71.411426
    Unten rechts KachelX + 1 36125 KachelY + 1 103294 -1.40987215 -1.24636450 -80.779724 -71.411426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24634922--1.24636450) × R
    1.52800000001729e-05 × 6371000     		dl = 97.3488800011018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24634922--1.24636450) × R
    1.52800000001729e-05 × 6371000     		dr = 97.3488800011018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40992009--1.40987215) × cos(-1.24634922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318784787431356 × 6371000     		do = 97.3650796019008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40992009--1.40987215) × cos(-1.24636450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318770304595669 × 6371000     		du = 97.3606561710936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24634922)-sin(-1.24636450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318784787431356-0.318770304595669)×R²
    abs(-1.40987215--1.40992009)×1.44828356876125e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44828356876125e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44828356876125e-05×40589641000000     		ar = 9478.16614251502m²