Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36123 / 105294
↖ ↑ ↗
← S 73.085035°
W 80.785217°		 ← 88.86 m → S 73.085035°
W 80.782471°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 73.085834°
W 80.785217°		 ← 88.86 m →
7 898 m²		 S 73.085834°
W 80.782471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275600433349609 y=0.803333282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275600433349609 × 217)
    floor (0.275600433349609 × 131072)
    floor (36123.5)     		tx = 36123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803333282470703 × 217)
    floor (0.803333282470703 × 131072)
    floor (105294.5)     		ty = 105294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36123 / 105294 ti = "17/36123/105294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36123/105294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36123 ÷ 217
    36123 ÷ 131072     		x = 0.275596618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105294 ÷ 217
    105294 ÷ 131072     		y = 0.803329467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275596618652344 × 2 - 1) × π
    -0.448806762695312 × 3.1415926535     		Λ = -1.40996803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803329467773438 × 2 - 1) × π
    -0.606658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90587525509419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40996803} λ = -1.40996803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90587525509419))-π/2
    2×atan(0.148692441833818)-π/2
    2×0.147610917473451-π/2
    0.295221834946901-1.57079632675     		φ = -1.27557449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40996803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.785217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27557449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.085035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36123 KachelY 105294 -1.40996803 -1.27557449 -80.785217 -73.085035
    Oben rechts KachelX + 1 36124 KachelY 105294 -1.40992009 -1.27557449 -80.782471 -73.085035
    Unten links KachelX 36123 KachelY + 1 105295 -1.40996803 -1.27558844 -80.785217 -73.085834
    Unten rechts KachelX + 1 36124 KachelY + 1 105295 -1.40992009 -1.27558844 -80.782471 -73.085834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27557449--1.27558844) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27557449--1.27558844) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40996803--1.40992009) × cos(-1.27557449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290952096888623 × 6371000     		do = 88.8642594967012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40996803--1.40992009) × cos(-1.27558844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290938750370487 × 6371000     		du = 88.860183126523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27557449)-sin(-1.27558844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290952096888623-0.290938750370487)×R²
    abs(-1.40992009--1.40996803)×1.33465181362258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33465181362258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33465181362258e-05×40589641000000     		ar = 7897.66990722775m²