Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36122 / 38645
↖ ↑ ↗
← S 30.699335°
E 18.424072°		 ← 525.25 m → S 30.699335°
E 18.429566°		 →
↑
525.23 m
↓
↑
525.23 m
↓
S 30.704058°
E 18.424072°		 ← 525.22 m →
275 866 m²		 S 30.704058°
E 18.429566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551185607910156 y=0.589683532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551185607910156 × 216)
    floor (0.551185607910156 × 65536)
    floor (36122.5)     		tx = 36122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589683532714844 × 216)
    floor (0.589683532714844 × 65536)
    floor (38645.5)     		ty = 38645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36122 / 38645 ti = "16/36122/38645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36122/38645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36122 ÷ 216
    36122 ÷ 65536     		x = 0.551177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38645 ÷ 216
    38645 ÷ 65536     		y = 0.589675903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551177978515625 × 2 - 1) × π
    0.10235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589675903320312 × 2 - 1) × π
    -0.179351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.56345031813414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32156072} λ = 0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56345031813414))-π/2
    2×atan(0.56924160698531)-π/2
    2×0.517495926404853-π/2
    1.03499185280971-1.57079632675     		φ = -0.53580447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53580447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.699335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36122 KachelY 38645 0.32156072 -0.53580447 18.424072 -30.699335
    Oben rechts KachelX + 1 36123 KachelY 38645 0.32165660 -0.53580447 18.429566 -30.699335
    Unten links KachelX 36122 KachelY + 1 38646 0.32156072 -0.53588691 18.424072 -30.704058
    Unten rechts KachelX + 1 36123 KachelY + 1 38646 0.32165660 -0.53588691 18.429566 -30.704058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53580447--0.53588691) × R
    8.24400000000169e-05 × 6371000     		dl = 525.225240000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53580447--0.53588691) × R
    8.24400000000169e-05 × 6371000     		dr = 525.225240000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32156072-0.32165660) × cos(-0.53580447) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.859858199127145 × 6371000     		do = 525.245653526911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32156072-0.32165660) × cos(-0.53588691) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.859816107870107 × 6371000     		du = 525.219942020254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53580447)-sin(-0.53588691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859858199127145-0.859816107870107)×R²
    abs(0.32165660-0.32156072)×4.20912570376908e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.20912570376908e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.20912570376908e-05×40589641000000     		ar = 275865.522423039m²