Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36121 / 38646
↖ ↑ ↗
← S 30.704058°
E 18.418579°		 ← 525.17 m → S 30.704058°
E 18.424072°		 →
↑
525.16 m
↓
↑
525.16 m
↓
S 30.708781°
E 18.418579°		 ← 525.14 m →
275 790 m²		 S 30.708781°
E 18.424072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551170349121094 y=0.589698791503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551170349121094 × 216)
    floor (0.551170349121094 × 65536)
    floor (36121.5)     		tx = 36121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589698791503906 × 216)
    floor (0.589698791503906 × 65536)
    floor (38646.5)     		ty = 38646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36121 / 38646 ti = "16/36121/38646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36121/38646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36121 ÷ 216
    36121 ÷ 65536     		x = 0.551162719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38646 ÷ 216
    38646 ÷ 65536     		y = 0.589691162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551162719726562 × 2 - 1) × π
    0.102325439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32146485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.17938232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.56354619193338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32146485} λ = 0.32146485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56354619193338))-π/2
    2×atan(0.569187034245853)-π/2
    2×0.517454708477567-π/2
    1.03490941695513-1.57079632675     		φ = -0.53588691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32146485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.418579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53588691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.704058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36121 KachelY 38646 0.32146485 -0.53588691 18.418579 -30.704058
    Oben rechts KachelX + 1 36122 KachelY 38646 0.32156072 -0.53588691 18.424072 -30.704058
    Unten links KachelX 36121 KachelY + 1 38647 0.32146485 -0.53596934 18.418579 -30.708781
    Unten rechts KachelX + 1 36122 KachelY + 1 38647 0.32156072 -0.53596934 18.424072 -30.708781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53588691--0.53596934) × R
    8.24299999999667e-05 × 6371000     		dl = 525.161529999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53588691--0.53596934) × R
    8.24299999999667e-05 × 6371000     		dr = 525.161529999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32146485-0.32156072) × cos(-0.53588691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859816107870107 × 6371000     		do = 525.165163136051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32146485-0.32156072) × cos(-0.53596934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859774015876202 × 6371000     		du = 525.139453860959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53588691)-sin(-0.53596934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859816107870107-0.859774015876202)×R²
    abs(0.32156072-0.32146485)×4.20919939048137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20919939048137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20919939048137e-05×40589641000000     		ar = 275789.789969978m²