Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36120 / 105320
↖ ↑ ↗
← S 73.105800°
W 80.793457°		 ← 88.76 m → S 73.105800°
W 80.790710°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
S 73.106598°
W 80.793457°		 ← 88.75 m →
7 877 m²		 S 73.106598°
W 80.790710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275577545166016 y=0.803531646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275577545166016 × 217)
    floor (0.275577545166016 × 131072)
    floor (36120.5)     		tx = 36120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803531646728516 × 217)
    floor (0.803531646728516 × 131072)
    floor (105320.5)     		ty = 105320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36120 / 105320 ti = "17/36120/105320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36120/105320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36120 ÷ 217
    36120 ÷ 131072     		x = 0.27557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105320 ÷ 217
    105320 ÷ 131072     		y = 0.80352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.4488525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41011184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.6070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90712161448431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41011184} λ = -1.41011184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90712161448431))-π/2
    2×atan(0.148507233055024)-π/2
    2×0.14742971010034-π/2
    0.29485942020068-1.57079632675     		φ = -1.27593691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41011184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.793457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27593691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.105800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36120 KachelY 105320 -1.41011184 -1.27593691 -80.793457 -73.105800
    Oben rechts KachelX + 1 36121 KachelY 105320 -1.41006390 -1.27593691 -80.790710 -73.105800
    Unten links KachelX 36120 KachelY + 1 105321 -1.41011184 -1.27595084 -80.793457 -73.106598
    Unten rechts KachelX + 1 36121 KachelY + 1 105321 -1.41006390 -1.27595084 -80.790710 -73.106598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27593691--1.27595084) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dl = 88.7480299996166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27593691--1.27595084) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dr = 88.7480299996166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41011184--1.41006390) × cos(-1.27593691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29060533693923 × 6371000     		do = 88.7583500825555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41011184--1.41006390) × cos(-1.27595084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290592008087962 × 6371000     		du = 88.7542791082935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27593691)-sin(-1.27595084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29060533693923-0.290592008087962)×R²
    abs(-1.41006390--1.41011184)×1.33288512684238e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33288512684238e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33288512684238e-05×40589641000000     		ar = 7876.94807047978m²