Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36118 / 103302
↖ ↑ ↗
← S 71.418429°
W 80.798950°		 ← 97.30 m → S 71.418429°
W 80.796204°		 →
↑
97.29 m
↓
↑
97.29 m
↓
S 71.419304°
W 80.798950°		 ← 97.30 m →
9 466 m²		 S 71.419304°
W 80.796204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275562286376953 y=0.788135528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275562286376953 × 217)
    floor (0.275562286376953 × 131072)
    floor (36118.5)     		tx = 36118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788135528564453 × 217)
    floor (0.788135528564453 × 131072)
    floor (103302.5)     		ty = 103302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36118 / 103302 ti = "17/36118/103302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36118/103302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36118 ÷ 217
    36118 ÷ 131072     		x = 0.275558471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103302 ÷ 217
    103302 ÷ 131072     		y = 0.788131713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275558471679688 × 2 - 1) × π
    -0.448883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41020771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788131713867188 × 2 - 1) × π
    -0.576263427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81038495105104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41020771} λ = -1.41020771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81038495105104))-π/2
    2×atan(0.163591150094912)-π/2
    2×0.162154798708607-π/2
    0.324309597417215-1.57079632675     		φ = -1.24648673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41020771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.798950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24648673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.418429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36118 KachelY 103302 -1.41020771 -1.24648673 -80.798950 -71.418429
    Oben rechts KachelX + 1 36119 KachelY 103302 -1.41015978 -1.24648673 -80.796204 -71.418429
    Unten links KachelX 36118 KachelY + 1 103303 -1.41020771 -1.24650200 -80.798950 -71.419304
    Unten rechts KachelX + 1 36119 KachelY + 1 103303 -1.41015978 -1.24650200 -80.796204 -71.419304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24648673--1.24650200) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dl = 97.2851700000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24648673--1.24650200) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dr = 97.2851700000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41020771--1.41015978) × cos(-1.24648673) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.318654448709827 × 6371000     		do = 97.3049693261725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41020771--1.41015978) × cos(-1.24650200) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.318639974683234 × 6371000     		du = 97.3005495080299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24648673)-sin(-1.24650200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318654448709827-0.318639974683234)×R²
    abs(-1.41015978--1.41020771)×1.44740265926591e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.44740265926591e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.44740265926591e-05×40589641000000     		ar = 9466.115491522m²