Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36116 / 47354
↖ ↑ ↗
← S 62.252582°
E 18.391113°		 ← 284.37 m → S 62.252582°
E 18.396606°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
S 62.255139°
E 18.391113°		 ← 284.34 m →
80 853 m²		 S 62.255139°
E 18.396606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551094055175781 y=0.722572326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551094055175781 × 216)
    floor (0.551094055175781 × 65536)
    floor (36116.5)     		tx = 36116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722572326660156 × 216)
    floor (0.722572326660156 × 65536)
    floor (47354.5)     		ty = 47354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36116 / 47354 ti = "16/36116/47354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36116/47354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36116 ÷ 216
    36116 ÷ 65536     		x = 0.55108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47354 ÷ 216
    47354 ÷ 65536     		y = 0.722564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55108642578125 × 2 - 1) × π
    0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.44512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39841523571628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32098548} λ = 0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39841523571628))-π/2
    2×atan(0.246988071827585)-π/2
    2×0.242141904424202-π/2
    0.484283808848404-1.57079632675     		φ = -1.08651252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08651252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.252582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36116 KachelY 47354 0.32098548 -1.08651252 18.391113 -62.252582
    Oben rechts KachelX + 1 36117 KachelY 47354 0.32108135 -1.08651252 18.396606 -62.252582
    Unten links KachelX 36116 KachelY + 1 47355 0.32098548 -1.08655715 18.391113 -62.255139
    Unten rechts KachelX + 1 36117 KachelY + 1 47355 0.32108135 -1.08655715 18.396606 -62.255139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08651252--1.08655715) × R
    4.46299999998789e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08651252--1.08655715) × R
    4.46299999998789e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32098548-0.32108135) × cos(-1.08651252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465574641748809 × 6371000     		do = 284.367297202298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32098548-0.32108135) × cos(-1.08655715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465535143350551 × 6371000     		du = 284.343172063707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08651252)-sin(-1.08655715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465574641748809-0.465535143350551)×R²
    abs(0.32108135-0.32098548)×3.94983982579533e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94983982579533e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94983982579533e-05×40589641000000     		ar = 80852.9219422975m²