Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36114 / 47352
↖ ↑ ↗
← S 62.247466°
E 18.380127°		 ← 284.45 m → S 62.247466°
E 18.385620°		 →
↑
284.40 m
↓
↑
284.40 m
↓
S 62.250024°
E 18.380127°		 ← 284.42 m →
80 893 m²		 S 62.250024°
E 18.385620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551063537597656 y=0.722541809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551063537597656 × 216)
    floor (0.551063537597656 × 65536)
    floor (36114.5)     		tx = 36114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722541809082031 × 216)
    floor (0.722541809082031 × 65536)
    floor (47352.5)     		ty = 47352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36114 / 47352 ti = "16/36114/47352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36114/47352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36114 ÷ 216
    36114 ÷ 65536     		x = 0.551055908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47352 ÷ 216
    47352 ÷ 65536     		y = 0.7225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551055908203125 × 2 - 1) × π
    0.10211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32079373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.445068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3982234881178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32079373} λ = 0.32079373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3982234881178))-π/2
    2×atan(0.247035435738024)-π/2
    2×0.242186544621627-π/2
    0.484373089243253-1.57079632675     		φ = -1.08642324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32079373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.380127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08642324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.247466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36114 KachelY 47352 0.32079373 -1.08642324 18.380127 -62.247466
    Oben rechts KachelX + 1 36115 KachelY 47352 0.32088961 -1.08642324 18.385620 -62.247466
    Unten links KachelX 36114 KachelY + 1 47353 0.32079373 -1.08646788 18.380127 -62.250024
    Unten rechts KachelX + 1 36115 KachelY + 1 47353 0.32088961 -1.08646788 18.385620 -62.250024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08642324--1.08646788) × R
    4.46400000000402e-05 × 6371000     		dl = 284.401440000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08642324--1.08646788) × R
    4.46400000000402e-05 × 6371000     		dr = 284.401440000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32079373-0.32088961) × cos(-1.08642324) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.465653653462541 × 6371000     		do = 284.445223384978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32079373-0.32088961) × cos(-1.08646788) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.465614148069596 × 6371000     		du = 284.42109145723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08642324)-sin(-1.08646788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465653653462541-0.465614148069596)×R²
    abs(0.32088961-0.32079373)×3.95053929446165e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.95053929446165e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.95053929446165e-05×40589641000000     		ar = 80893.1995678429m²