Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36112 / 39181
↖ ↑ ↗
← S 33.197328°
E 18.369140°		 ← 511.15 m → S 33.197328°
E 18.374634°		 →
↑
511.15 m
↓
↑
511.15 m
↓
S 33.201924°
E 18.369140°		 ← 511.13 m →
261 267 m²		 S 33.201924°
E 18.374634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551033020019531 y=0.597862243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551033020019531 × 216)
    floor (0.551033020019531 × 65536)
    floor (36112.5)     		tx = 36112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597862243652344 × 216)
    floor (0.597862243652344 × 65536)
    floor (39181.5)     		ty = 39181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36112 / 39181 ti = "16/36112/39181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36112/39181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36112 ÷ 216
    36112 ÷ 65536     		x = 0.551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39181 ÷ 216
    39181 ÷ 65536     		y = 0.597854614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551025390625 × 2 - 1) × π
    0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597854614257812 × 2 - 1) × π
    -0.195709228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.61483867452684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32060198} λ = 0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61483867452684))-π/2
    2×atan(0.540728121493275)-π/2
    2×0.495696827908451-π/2
    0.991393655816902-1.57079632675     		φ = -0.57940267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57940267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.197328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36112 KachelY 39181 0.32060198 -0.57940267 18.369140 -33.197328
    Oben rechts KachelX + 1 36113 KachelY 39181 0.32069786 -0.57940267 18.374634 -33.197328
    Unten links KachelX 36112 KachelY + 1 39182 0.32060198 -0.57948290 18.369140 -33.201924
    Unten rechts KachelX + 1 36113 KachelY + 1 39182 0.32069786 -0.57948290 18.374634 -33.201924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57940267--0.57948290) × R
    8.02300000000145e-05 × 6371000     		dl = 511.145330000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57940267--0.57948290) × R
    8.02300000000145e-05 × 6371000     		dr = 511.145330000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32060198-0.32069786) × cos(-0.57940267) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.836789851807643 × 6371000     		do = 511.15431942564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32060198-0.32069786) × cos(-0.57948290) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.836745921248394 × 6371000     		du = 511.127484378505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57940267)-sin(-0.57948290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836789851807643-0.836745921248394)×R²
    abs(0.32069786-0.32060198)×4.39305592496719e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39305592496719e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39305592496719e-05×40589641000000     		ar = 261267.285119477m²