Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36111 / 39182
↖ ↑ ↗
← S 33.201924°
E 18.363647°		 ← 511.07 m → S 33.201924°
E 18.369140°		 →
↑
511.02 m
↓
↑
511.02 m
↓
S 33.206520°
E 18.363647°		 ← 511.05 m →
261 161 m²		 S 33.206520°
E 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551017761230469 y=0.597877502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551017761230469 × 216)
    floor (0.551017761230469 × 65536)
    floor (36111.5)     		tx = 36111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597877502441406 × 216)
    floor (0.597877502441406 × 65536)
    floor (39182.5)     		ty = 39182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36111 / 39182 ti = "16/36111/39182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36111/39182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36111 ÷ 216
    36111 ÷ 65536     		x = 0.551010131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39182 ÷ 216
    39182 ÷ 65536     		y = 0.597869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551010131835938 × 2 - 1) × π
    0.102020263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32050611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.19573974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.61493454832608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32050611} λ = 0.32050611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61493454832608))-π/2
    2×atan(0.540676282318961)-π/2
    2×0.495656715850205-π/2
    0.991313431700411-1.57079632675     		φ = -0.57948290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32050611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.363647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57948290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.201924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36111 KachelY 39182 0.32050611 -0.57948290 18.363647 -33.201924
    Oben rechts KachelX + 1 36112 KachelY 39182 0.32060198 -0.57948290 18.369140 -33.201924
    Unten links KachelX 36111 KachelY + 1 39183 0.32050611 -0.57956311 18.363647 -33.206520
    Unten rechts KachelX + 1 36112 KachelY + 1 39183 0.32060198 -0.57956311 18.369140 -33.206520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57948290--0.57956311) × R
    8.0210000000025e-05 × 6371000     		dl = 511.017910000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57948290--0.57956311) × R
    8.0210000000025e-05 × 6371000     		dr = 511.017910000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32050611-0.32060198) × cos(-0.57948290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836745921248394 × 6371000     		do = 511.074175295891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32050611-0.32060198) × cos(-0.57956311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836701996256302 × 6371000     		du = 511.047346447924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57948290)-sin(-0.57956311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836745921248394-0.836701996256302)×R²
    abs(0.32060198-0.32050611)×4.392499209116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.392499209116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.392499209116e-05×40589641000000     		ar = 261161.202043937m²