Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3611 / 4630
↖ ↑ ↗
← N 61.375673°
W100.656738°		 ← 1 170.49 m → N 61.375673°
W100.634766°		 →
↑
1 170.67 m
↓
↑
1 170.67 m
↓
N 61.365145°
W100.656738°		 ← 1 170.88 m →
1 370 488 m²		 N 61.365145°
W100.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220428466796875 y=0.282623291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220428466796875 × 214)
    floor (0.220428466796875 × 16384)
    floor (3611.5)     		tx = 3611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282623291015625 × 214)
    floor (0.282623291015625 × 16384)
    floor (4630.5)     		ty = 4630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3611 / 4630 ti = "14/3611/4630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3611/4630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3611 ÷ 214
    3611 ÷ 16384     		x = 0.22039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4630 ÷ 214
    4630 ÷ 16384     		y = 0.2825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22039794921875 × 2 - 1) × π
    -0.5592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75679150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2825927734375 × 2 - 1) × π
    0.434814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36600989157312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75679150} λ = -1.75679150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36600989157312))-π/2
    2×atan(3.9196795051637)-π/2
    2×1.32100195338203-π/2
    2.64200390676406-1.57079632675     		φ = 1.07120758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75679150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.656738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07120758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.375673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3611 KachelY 4630 -1.75679150 1.07120758 -100.656738 61.375673
    Oben rechts KachelX + 1 3612 KachelY 4630 -1.75640800 1.07120758 -100.634766 61.375673
    Unten links KachelX 3611 KachelY + 1 4631 -1.75679150 1.07102383 -100.656738 61.365145
    Unten rechts KachelX + 1 3612 KachelY + 1 4631 -1.75640800 1.07102383 -100.634766 61.365145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07120758-1.07102383) × R
    0.000183750000000149 × 6371000     		dl = 1170.67125000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07120758-1.07102383) × R
    0.000183750000000149 × 6371000     		dr = 1170.67125000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75679150--1.75640800) × cos(1.07120758) × R
    0.000383500000000092 × 0.479064589430628 × 6371000     		do = 1170.48821146746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75679150--1.75640800) × cos(1.07102383) × R
    0.000383500000000092 × 0.479225873353369 × 6371000     		du = 1170.88227300829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07120758)-sin(1.07102383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479064589430628-0.479225873353369)×R²
    abs(-1.75640800--1.75679150)×0.00016128392274084×R²
    0.000383500000000092×0.00016128392274084×6371000²
    0.000383500000000092×0.00016128392274084×40589641000000     		ar = 1370487.55974473m²