Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36109 / 47333
↖ ↑ ↗
← S 62.198827°
E 18.352661°		 ← 284.90 m → S 62.198827°
E 18.358154°		 →
↑
284.85 m
↓
↑
284.85 m
↓
S 62.201389°
E 18.352661°		 ← 284.88 m →
81 151 m²		 S 62.201389°
E 18.358154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550987243652344 y=0.722251892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550987243652344 × 216)
    floor (0.550987243652344 × 65536)
    floor (36109.5)     		tx = 36109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722251892089844 × 216)
    floor (0.722251892089844 × 65536)
    floor (47333.5)     		ty = 47333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36109 / 47333 ti = "16/36109/47333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36109/47333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36109 ÷ 216
    36109 ÷ 65536     		x = 0.550979614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47333 ÷ 216
    47333 ÷ 65536     		y = 0.722244262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550979614257812 × 2 - 1) × π
    0.101959228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32031436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722244262695312 × 2 - 1) × π
    -0.444488525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39640188593224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32031436} λ = 0.32031436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39640188593224))-π/2
    2×atan(0.247485846137412)-π/2
    2×0.242611004464111-π/2
    0.485222008928223-1.57079632675     		φ = -1.08557432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32031436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.352661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08557432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.198827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36109 KachelY 47333 0.32031436 -1.08557432 18.352661 -62.198827
    Oben rechts KachelX + 1 36110 KachelY 47333 0.32041024 -1.08557432 18.358154 -62.198827
    Unten links KachelX 36109 KachelY + 1 47334 0.32031436 -1.08561903 18.352661 -62.201389
    Unten rechts KachelX + 1 36110 KachelY + 1 47334 0.32041024 -1.08561903 18.358154 -62.201389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08557432--1.08561903) × R
    4.47099999998368e-05 × 6371000     		dl = 284.84740999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08557432--1.08561903) × R
    4.47099999998368e-05 × 6371000     		dr = 284.84740999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32031436-0.32041024) × cos(-1.08557432) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.466404751808027 × 6371000     		do = 284.904032920944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32031436-0.32041024) × cos(-1.08561903) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.466365202153421 × 6371000     		du = 284.879873955894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08557432)-sin(-1.08561903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466404751808027-0.466365202153421)×R²
    abs(0.32041024-0.32031436)×3.95496546057861e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.95496546057861e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.95496546057861e-05×40589641000000     		ar = 81150.7350798277m²