Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36109 / 38674
↖ ↑ ↗
← S 30.836214°
E 18.352661°		 ← 524.50 m → S 30.836214°
E 18.358154°		 →
↑
524.46 m
↓
↑
524.46 m
↓
S 30.840931°
E 18.352661°		 ← 524.47 m →
275 072 m²		 S 30.840931°
E 18.358154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550987243652344 y=0.590126037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550987243652344 × 216)
    floor (0.550987243652344 × 65536)
    floor (36109.5)     		tx = 36109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590126037597656 × 216)
    floor (0.590126037597656 × 65536)
    floor (38674.5)     		ty = 38674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36109 / 38674 ti = "16/36109/38674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36109/38674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36109 ÷ 216
    36109 ÷ 65536     		x = 0.550979614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38674 ÷ 216
    38674 ÷ 65536     		y = 0.590118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550979614257812 × 2 - 1) × π
    0.101959228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32031436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.18023681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.566230658312103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32031436} λ = 0.32031436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566230658312103))-π/2
    2×atan(0.567661119838533)-π/2
    2×0.516301426366165-π/2
    1.03260285273233-1.57079632675     		φ = -0.53819347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32031436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.352661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53819347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.836214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36109 KachelY 38674 0.32031436 -0.53819347 18.352661 -30.836214
    Oben rechts KachelX + 1 36110 KachelY 38674 0.32041024 -0.53819347 18.358154 -30.836214
    Unten links KachelX 36109 KachelY + 1 38675 0.32031436 -0.53827579 18.352661 -30.840931
    Unten rechts KachelX + 1 36110 KachelY + 1 38675 0.32041024 -0.53827579 18.358154 -30.840931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53819347--0.53827579) × R
    8.23200000000801e-05 × 6371000     		dl = 524.46072000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53819347--0.53827579) × R
    8.23200000000801e-05 × 6371000     		dr = 524.46072000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32031436-0.32041024) × cos(-0.53819347) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.858636083364149 × 6371000     		do = 524.499122304353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32031436-0.32041024) × cos(-0.53827579) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.85859388440195 × 6371000     		du = 524.47334500584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53819347)-sin(-0.53827579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858636083364149-0.85859388440195)×R²
    abs(0.32041024-0.32031436)×4.21989621985919e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.21989621985919e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.21989621985919e-05×40589641000000     		ar = 275072.427888432m²