Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36108 / 47332
↖ ↑ ↗
← S 62.196265°
E 18.347168°		 ← 284.90 m → S 62.196265°
E 18.352661°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
S 62.198827°
E 18.347168°		 ← 284.87 m →
81 167 m²		 S 62.198827°
E 18.352661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550971984863281 y=0.722236633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550971984863281 × 216)
    floor (0.550971984863281 × 65536)
    floor (36108.5)     		tx = 36108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722236633300781 × 216)
    floor (0.722236633300781 × 65536)
    floor (47332.5)     		ty = 47332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36108 / 47332 ti = "16/36108/47332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36108/47332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36108 ÷ 216
    36108 ÷ 65536     		x = 0.55096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47332 ÷ 216
    47332 ÷ 65536     		y = 0.72222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55096435546875 × 2 - 1) × π
    0.1019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32021849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.4444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.396306012133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32021849} λ = 0.32021849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.396306012133))-π/2
    2×atan(0.247509574683194)-π/2
    2×0.242633363410051-π/2
    0.485266726820102-1.57079632675     		φ = -1.08552960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32021849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08552960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.196265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36108 KachelY 47332 0.32021849 -1.08552960 18.347168 -62.196265
    Oben rechts KachelX + 1 36109 KachelY 47332 0.32031436 -1.08552960 18.352661 -62.196265
    Unten links KachelX 36108 KachelY + 1 47333 0.32021849 -1.08557432 18.347168 -62.198827
    Unten rechts KachelX + 1 36109 KachelY + 1 47333 0.32031436 -1.08557432 18.352661 -62.198827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08552960--1.08557432) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08552960--1.08557432) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32021849-0.32031436) × cos(-1.08552960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466444309375803 × 6371000     		do = 284.89847955283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32021849-0.32031436) × cos(-1.08557432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466404751808027 × 6371000     		du = 284.874318274222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08552960)-sin(-1.08557432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466444309375803-0.466404751808027)×R²
    abs(0.32031436-0.32021849)×3.95575677759608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95575677759608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95575677759608e-05×40589641000000     		ar = 81167.3030007405m²