Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36104 / 103296
↖ ↑ ↗
← S 71.413177°
W 80.837402°		 ← 97.35 m → S 71.413177°
W 80.834656°		 →
↑
97.29 m
↓
↑
97.29 m
↓
S 71.414052°
W 80.837402°		 ← 97.35 m →
9 471 m²		 S 71.414052°
W 80.834656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275455474853516 y=0.788089752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275455474853516 × 217)
    floor (0.275455474853516 × 131072)
    floor (36104.5)     		tx = 36104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788089752197266 × 217)
    floor (0.788089752197266 × 131072)
    floor (103296.5)     		ty = 103296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36104 / 103296 ti = "17/36104/103296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36104/103296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36104 ÷ 217
    36104 ÷ 131072     		x = 0.27545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103296 ÷ 217
    103296 ÷ 131072     		y = 0.7880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.4490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41087883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7880859375 × 2 - 1) × π
    -0.576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81009732965332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41087883} λ = -1.41087883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81009732965332))-π/2
    2×atan(0.163638209177432)-π/2
    2×0.162200630874873-π/2
    0.324401261749747-1.57079632675     		φ = -1.24639507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41087883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.837402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24639507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.413177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36104 KachelY 103296 -1.41087883 -1.24639507 -80.837402 -71.413177
    Oben rechts KachelX + 1 36105 KachelY 103296 -1.41083089 -1.24639507 -80.834656 -71.413177
    Unten links KachelX 36104 KachelY + 1 103297 -1.41087883 -1.24641034 -80.837402 -71.414052
    Unten rechts KachelX + 1 36105 KachelY + 1 103297 -1.41083089 -1.24641034 -80.834656 -71.414052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24639507--1.24641034) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dl = 97.2851700000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24639507--1.24641034) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dr = 97.2851700000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41087883--1.41083089) × cos(-1.24639507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318741329222602 × 6371000     		do = 97.3518063463329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41087883--1.41083089) × cos(-1.24641034) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318726855642064 × 6371000     		du = 97.3473857422867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24639507)-sin(-1.24641034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318741329222602-0.318726855642064)×R²
    abs(-1.41083089--1.41087883)×1.44735805378549e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44735805378549e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44735805378549e-05×40589641000000     		ar = 9470.67200085986m²