Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36103 / 51962
↖ ↑ ↗
← S 71.955181°
E 18.319702°		 ← 189.20 m → S 71.955181°
E 18.325195°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
S 71.956883°
E 18.319702°		 ← 189.18 m →
35 798 m²		 S 71.956883°
E 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550895690917969 y=0.792884826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550895690917969 × 216)
    floor (0.550895690917969 × 65536)
    floor (36103.5)     		tx = 36103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.792884826660156 × 216)
    floor (0.792884826660156 × 65536)
    floor (51962.5)     		ty = 51962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36103 / 51962 ti = "16/36103/51962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36103/51962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36103 ÷ 216
    36103 ÷ 65536     		x = 0.550888061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51962 ÷ 216
    51962 ÷ 65536     		y = 0.792877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550888061523438 × 2 - 1) × π
    0.101776123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31973912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.792877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.58575439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.84020170261472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31973912} λ = 0.31973912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84020170261472))-π/2
    2×atan(0.158785395447255)-π/2
    2×0.157470751481815-π/2
    0.314941502963631-1.57079632675     		φ = -1.25585482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31973912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.319702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25585482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.955181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36103 KachelY 51962 0.31973912 -1.25585482 18.319702 -71.955181
    Oben rechts KachelX + 1 36104 KachelY 51962 0.31983499 -1.25585482 18.325195 -71.955181
    Unten links KachelX 36103 KachelY + 1 51963 0.31973912 -1.25588452 18.319702 -71.956883
    Unten rechts KachelX + 1 36104 KachelY + 1 51963 0.31983499 -1.25588452 18.325195 -71.956883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25585482--1.25588452) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25585482--1.25588452) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31973912-0.31983499) × cos(-1.25585482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.30976085557002 × 6371000     		do = 189.1981422069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31973912-0.31983499) × cos(-1.25588452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.309732616242772 × 6371000     		du = 189.180893971184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25585482)-sin(-1.25588452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30976085557002-0.309732616242772)×R²
    abs(0.31983499-0.31973912)×2.82393272478809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82393272478809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82393272478809e-05×40589641000000     		ar = 35798.1946691171m²