Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36103 / 103295
↖ ↑ ↗
← S 71.412302°
W 80.840149°		 ← 97.36 m → S 71.412302°
W 80.837402°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
S 71.413177°
W 80.840149°		 ← 97.35 m →
9 477 m²		 S 71.413177°
W 80.837402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275447845458984 y=0.788082122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275447845458984 × 217)
    floor (0.275447845458984 × 131072)
    floor (36103.5)     		tx = 36103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788082122802734 × 217)
    floor (0.788082122802734 × 131072)
    floor (103295.5)     		ty = 103295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36103 / 103295 ti = "17/36103/103295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36103/103295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36103 ÷ 217
    36103 ÷ 131072     		x = 0.275444030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103295 ÷ 217
    103295 ÷ 131072     		y = 0.788078308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275444030761719 × 2 - 1) × π
    -0.449111938476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.41092677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788078308105469 × 2 - 1) × π
    -0.576156616210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.8100493927537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41092677} λ = -1.41092677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8100493927537))-π/2
    2×atan(0.163646053673859)-π/2
    2×0.162208270784102-π/2
    0.324416541568204-1.57079632675     		φ = -1.24637979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41092677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.840149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24637979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.412302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36103 KachelY 103295 -1.41092677 -1.24637979 -80.840149 -71.412302
    Oben rechts KachelX + 1 36104 KachelY 103295 -1.41087883 -1.24637979 -80.837402 -71.412302
    Unten links KachelX 36103 KachelY + 1 103296 -1.41092677 -1.24639507 -80.840149 -71.413177
    Unten rechts KachelX + 1 36104 KachelY + 1 103296 -1.41087883 -1.24639507 -80.837402 -71.413177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24637979--1.24639507) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dl = 97.3488799996871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24637979--1.24639507) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dr = 97.3488799996871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41092677--1.41087883) × cos(-1.24637979) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.318755812207187 × 6371000     		do = 97.356229823068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41092677--1.41087883) × cos(-1.24639507) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.318741329222602 × 6371000     		du = 97.3518063467838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24637979)-sin(-1.24639507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318755812207187-0.318741329222602)×R²
    abs(-1.41087883--1.41092677)×1.44829845847294e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.44829845847294e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.44829845847294e-05×40589641000000     		ar = 9477.30462413203m²