Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36102 / 47337
↖ ↑ ↗
← S 62.209073°
E 18.314209°		 ← 284.78 m → S 62.209073°
E 18.319702°		 →
↑
284.78 m
↓
↑
284.78 m
↓
S 62.211634°
E 18.314209°		 ← 284.75 m →
81 097 m²		 S 62.211634°
E 18.319702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550880432128906 y=0.722312927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550880432128906 × 216)
    floor (0.550880432128906 × 65536)
    floor (36102.5)     		tx = 36102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722312927246094 × 216)
    floor (0.722312927246094 × 65536)
    floor (47337.5)     		ty = 47337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36102 / 47337 ti = "16/36102/47337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36102/47337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36102 ÷ 216
    36102 ÷ 65536     		x = 0.550872802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47337 ÷ 216
    47337 ÷ 65536     		y = 0.722305297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550872802734375 × 2 - 1) × π
    0.10174560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31964325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722305297851562 × 2 - 1) × π
    -0.444610595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.3967853811292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31964325} λ = 0.31964325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3967853811292))-π/2
    2×atan(0.247390954700471)-π/2
    2×0.24252158764039-π/2
    0.48504317528078-1.57079632675     		φ = -1.08575315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31964325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.314209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08575315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.209073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36102 KachelY 47337 0.31964325 -1.08575315 18.314209 -62.209073
    Oben rechts KachelX + 1 36103 KachelY 47337 0.31973912 -1.08575315 18.319702 -62.209073
    Unten links KachelX 36102 KachelY + 1 47338 0.31964325 -1.08579785 18.314209 -62.211634
    Unten rechts KachelX + 1 36103 KachelY + 1 47338 0.31973912 -1.08579785 18.319702 -62.211634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08575315--1.08579785) × R
    4.47000000001196e-05 × 6371000     		dl = 284.783700000762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08575315--1.08579785) × R
    4.47000000001196e-05 × 6371000     		dr = 284.783700000762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31964325-0.31973912) × cos(-1.08575315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466246556442928 × 6371000     		do = 284.777694479949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31964325-0.31973912) × cos(-1.08579785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466207011906735 × 6371000     		du = 284.753541160872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08575315)-sin(-1.08579785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466246556442928-0.466207011906735)×R²
    abs(0.31973912-0.31964325)×3.95445361930924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95445361930924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95445361930924e-05×40589641000000     		ar = 81096.6062893756m²